Soluzioni del VIII tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

28 novembre 2005

Esercizio 1. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→∞} (1 + \frac{7}{n})^{2n} Sol: basta applicare la sostituzione 7/n=1/t per riottenere un integrale notevole.

b) lim_{n→∞} (\frac{n^{3}−2}{n+2} + \frac{n^{3}−2n^{2}}{n+1} ) Sol: facilmente +∞

c) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n!})^{n^{n}} Sol: sostituite n^{n} con n!\frac{n^{n}}{n!}

d) lim_{n→∞} ( \sqrt[n]{2} − 1)^{n} Sol: vi basta maggiorare \sqrt[n]{2} con \sqrt{2}

e) lim_{n→∞} sin (2π\sqrt{n^{2} + \sqrt{n}}) Sol: notate l’andamento dell’argomento della radice all’infinito ricordandovi che è moltiplicata per 2π. (Ris= 0)

Esercizio 2. Trovare, se esiste, il limite delle seguenti successioni:

a) a_{n} = 1 + sin n Sol: no!

b) a_{n} = arctan (−\frac{1}{2})^{n} Sol: si (0)

c) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} · \frac{1+(−1)^{n}}{2} Sol: si (0)

d) a_{n} = \frac{n!}{2^{n}} sin n\frac{π}{2} Sol: no (potete farlo vedere creando le sottosuccessioni che rendono costante il valore del seno)

e) a_{n} = \sqrt[n]{(−1)^{n}n} Sol: no

Esercizio 3. Dimostrare che, se a_{n} > 0 ∀n ∈ ℕ, b_{n} = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} e b_{n} → b > 1 allora a_{n} → ∞.

Sol: il modo più semplice è farlo vedere per assurdo supponendo che il limite di a_{n} sia finito e sfruttando la definizione di limite.

Esercizio 4. Trovare il massimo e il minimo limite delle seguenti successioni:

a) a_{n} = 1 − cos n b) a_{n} = arctan (−2)^{n}

c) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} + \frac{1+(−1)^{n}}{2}

d) a_{n} = \frac{n!}{2^{n}} sin n\frac{π}{2}

e) a_{n} = \sqrt[n]{(−1)^{n}n}

f) a_{n} = \sqrt{n^{2} − 1} − n

g) a_{n} = 1 + (−1)^{n}

h) a_{n} = \frac{n+1}{n} sin \frac{nπ}{10}

i) a_{n} = sin^{2} (\frac{n^{2}}{2n+1}) + cos^{2} (\frac{n^{3}+6n}{(n+2)^{2}} )