I tutorato di Analisi Matematica 1A

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

26 settembre 2005

Esercizio 1. Dimostrare che, se a, b, c ∈ ℝ^{+}, risulta:

a^{2} + b^{2} + c^{2} ≥ ab + bc + ac

Esercizio 2. Dire per quali x ∈ R sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:

a) |\frac{|x+1|+3}{|2x|+1} | ≤ 4

b) |(4 − \sqrt{6}) sin^{2} x − \sqrt{6} cos^{2} x + 2\sqrt{3} sin x| > 2\sqrt{2} sin x

c) log_{\frac{1}{2}} (7 − 2^{x}) − log_{\frac{1}{2}} (5 + 4^{x}) + log_{\frac{1}{2}} 7 ≥ 0

d) | log_{9}(2x^{2} − x + 1) − log_{3}(x − 2)| ≤ 1

Esercizio 3. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta:

n^{n} ≥ n!

Esercizio 4. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta:

∑_{k=0}^{n}(4k + 1) = (2n + 1)(n + 1)

Esercizio 5. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

Esercizio 6. Dimostrare la seguente proprietà, applicando il principio d’induzione: per tutti i naturali n ∈ ℕ, la potenza n-esima di 4 diminuita di 1 è divisibile per 3.

Esercizio 7. Dimostrare che ∀n ∈ ℕ ⇒ ∑_{k=0}^{n} k(k + 1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} Esercizio 8. Dimostrare, per induzione, le seguenti uguaglianze:

∑_{k=0}^{n} k^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2} = (∑_{k=0}^{n} k)^{2}

Esercizio 9. Momento relax: trova l’errore in queste dimostrazioni per induzione giustificando la risposta.

• Zero uomini non hanno orecchie, prendendo questo come base induttiva possiamo supporre che, ogni gruppo di n − 1 persone non abbiano orecchie, quindi adesso procediamo col passo induttivo; aggiungiamo un uomo al gruppo di n − 1 uomini che abbiamo come base induttiva, e togliamone uno dall’insieme originale. Così modificato questo sarà un insieme di n − 1 che per ipotesi induttiva non ha orecchie!!!

• C’è una scatola con n pastelli di diversi colori. Prendo un pastello, questo è rosso (base induttiva); per ipotesi ogni gruppo di n−1 pastelli è formato da pastelli rossi; allora tutti i pastelli della scatola sono rossi! Infatti aggiungendo un pastello al gruppo degli n − 1 dell’ipotesi induttiva e togliendone uno dei vecchi, ottengo un gruppo di n − 1 pastelli che per ipotesi sono tutti rossi e l’asserto è verificato!!!