X tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

15 dicembre 2005

Esercizio 1. Dimostrare che la seguente caratterizzazione equivale a quella di massimo limite:

l è massimo limite se

i) ∀ϵ > 0 ∃ν : ∀n ≥ ν a_{n} < l + ϵ

ii) esiste una sottosuccessione a_{n_{k}} ⟶^{k→+∞} l

Esercizio 2. Sia a_{n} tale che maxlim(a_{n}) = +∞ minlim(a_{n}) = −∞: a) Dare un esempio di a_{n} come sopra

b) Dimostrare che

∃{a_{n_{k}}} ⊆ {a_{n}} tale che lim_{k→+∞} a_{n_{k}} = +∞ ∃{a_{n_{h}}} ⊆ {a_{n}} tale che lim_{h→+∞} a_{n_{k}} = −∞

Esercizio 3. Sia a_{n} una successione qualunque. Dimostrare che se x_{0} è un punto di accumulazione per a_{n}, allora esiste una sottosuccessione a_{n_{k}} estratta da a_{n} tale che lim_{k→+∞} a_{n_{k}} = x_{0}

Esercizio 4. Trovare il massimo e il minimo limite delle seguenti successioni:

a) a_{n} = 1 − cos n

b) a_{n} = arctan (−2)^{n}

c) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} + \frac{1+(−1)^{n}}{2}

d) a_{n} = \frac{n!}{2^{n}} sin n\frac{π}{2}

e) a_{n} = \sqrt[n]{(−1)^{n}n}

f) a_{n} = \sqrt{n^{2} − 1} − n

g) a_{n} = 1 + (−1)^{n}

h) a_{n} = \frac{n+1}{n} sin \frac{nπ}{10}

i) a_{n} = sin^{2} (\frac{n^{2}}{2n+1}) + cos^{2} (\frac{n^{3}+6n}{(n+2)^{2}} )