IX tutorato di analisi matematica 1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

5 dicembre 2005

Esercizio 1. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→∞} (1 + \frac{sin n}{n})^{n^{2}}
b) lim_{n→∞} (\frac{n^{2}+3}{n^{2}+1})^{n^{3}}
c) lim_{n→∞} (n^{2} + 2n) sin (\frac{1}{3n^{2}+7})

d) lim_{n→∞} \sqrt[n]{log [(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}})^{^{\sqrt{n}}^{n}}]}

e) lim_{n→∞} ^{\frac{ln [( \frac{n+2}{n^{2}} )e^{n−1}]}{2n}}

Esercizio 2. Utilizzando il criterio del rapporto, stabilire il carattere delle seguenti serie:

a) ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}n
b) ∑_{n=1}^{∞} n2^{−n}
c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}+1}{4^{n}}
d) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{n^{n}}

Esercizio 3. Utilizzando il criterio della radice, stabilire il carattere delle seguenti serie:

a) ∑_{n=0}^{∞} n^{−n}
b) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n+1}{2n+1})^{n}
c) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+3n1})^{n}
d) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{log n}{n})^{n}

Esercizio 4. Dire se le seguenti serie convergono:

a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{cos πn}{n+2}
b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} sin \frac{1}{n+1}
c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}}
d) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n+1}{n!}

Esercizio 5. Dire per quali x le seguenti serie sono convergenti:

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}}
b) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1+x}{1+nx})^{n}