PROGRAMMA DEL CORSO "MATEMATICA- GEOMETRIE E MODELLI", AA 2011-2012. 

La sfera.

La distanza sulla sfera, caratterizzazione delle "geodesiche", o "rette". Osservazioni locali e globali sulla sfera:
- figure piane sulla sfera e loro proprietā .
- differenze, osservabili localmente, tra geometria della sfera ed euclidea: relazione tra raggio e circonferenza, angoli interni di figure regolari (controesempio di Saccheri).
- differenze globali: possibili mutue posizioni delle "rette".

Geometrie localmente euclidee su superfici bidimensionali: Il cilindro, il nastro di Mobius, il cilindro avvitato, il toro T2.
Per ciascuna geometria:
- costruzione per identificazione dei bordi di una porzione di piano;
- costruzione come spazio quoziente di una relazione di equivalenza nel piano, e relativa "tassellazione" del piano;
- rappresentazione come superficie immersa nello spazio tridimensionale (l' oggetto).
- la nozione di "distanza", le geodesiche, o "rette", nelle tre rappresentazioni di ciascuna geometria.
- mutua posizione delle "rette" nelle varie geometrie: rette parallele e intersezioni di rette nelle varie geometrie.
- presentazione di almeno un modello fisico-matematico associato ad alcune delle geometrie studiate:
- cilindro: spazio delle fasi del pendolo, perla pesante
- toro: eclissi terra-luna-sole, modello spin-orbita pianeta-satellite, approssimazione delle scale musicali pitagoree e comma pitagorico

Coordinate intrinseche ad una superficie.
Compatibilitā  delle osservazioni locali su ciascuna geometria con quelle sul piano euclideo: le geometrie sono "localmente euclidee".
Per il toro: densitā  delle rette a pendenza irrazionale.

Algebra astratta e geometria nel piano.
- Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, spazio quoziente.
- Insiemi numerici, astrazione delle loro proprietā : i gruppi.
- Gruppi di simmetrie, gruppi di simmetria del quadrato e del triangolo equilatero.
- Isometrie: traslazioni , riflessioni e glissoriflessioni; disegni invarianti  per una trasformazione.
- Dominio fondamentale di un gruppo di simmetrie.
- I 7 gruppi di simmetria di una striscia (motivi "a festone", o "fregi"). Gruppi cristallografici nel piano.

Ricostruzione univoca dell'aspetto originale dei pavimenti dell'emiciclo dei Mercati di Traiano a a partire dai frammenti
in situ.

Simmetrie 3d: la sfera e i poliedri
- Solidi platonici, formula di Eulero. Dualitā. Poliedri stellati. Gruppi di simmetria dei poliedri. Sviluppo piano.
- Icosaedro e rettangolo aureo. Cupole geodetiche: classificazione di alcune triangolazioni della sfera (dovuta a Coxeter) e studio delle diverse triangolazioni. Fullereni.
- Conseguenze della formula di Eulero: i solidi platonici sono solo 5, i fullereni hanno esattamente 12 facce pentagonali.
- Gruppi di simmetria speculare della sfera (Coxeter).
- "Oltre lo sviluppo piano": approccio di problemi geometrici attraverso lo sviluppo piano di poliedri.
- Percorsi minimi sui poliedri, percorsi chiusi, distanza tra punti.

Modalitā d'esame:

PER SOSTENERE LE PROVE SCRITTA E  ORALE E PER VERBALIZZARE L'ESAME E' *INDISPENSABILE* PRENOTARSI SUL PORTALE DELLO STUDENTE

L'esame consiste di una prova scritta, ed una prova orale di tipo argomentativo.

Bibliografia:

V. Nikulin, I. R. Shafarevich, Geometries and groups, Springer 1994.
Courant, Robbins Che cos'č la matematica? Boringhieri
L.A. Lyusternik The Shortest Lines Little Mathematics Library MIR Publishers Moscow 1983
E.A. Abbott Flatland: a Romance of Many Dimensions, Princeton University Science Library 1991 (Dover 1953); trad. italiana: Flatlandia, Adelphi 1996
T. Banchoff  Oltre la terza dimensione Zanichelli 1993
A. Kostovskii Geometrical Constructions with compasses only Little Maths Library MIR Publishers Moscow, 1982
R. Osserman Poesia dell' universo: l' esplorazione matematica del cosmo Longanesi 1995
B. Riemann Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria Boringhieri 1994
 

Potrete trovare spunti e stimoli ulteriori per i vostri lavori individuali in: 
- Nexus Network Journal (una rivista di matematica e architettura)
- La serie "Matematica e Cultura"  a cura di Michele Emmer
- The Visual Mind