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Secondo esonero di Am1a 11 gennaio 2005

Esercizio 1. Calcolare il limite delle seguenti successioni:

lim_{n→∞} (1 + \frac{3 + 2^{n}}{e^{n}} )^{\frac{e^{n}}{2^{n}}} ; lim_{n→∞} \frac{1}{log ^{n} \sqrt{n}} sin(log ^{n} \sqrt{n})·\frac{7n^{\frac{2}{3}} − 4n^{\frac{1}{3}}}{4 ^{3} \sqrt{n^{2}}}

Enunciare il Teorema dei carabinieri.

Secondo esonero di Am1a 11 gennaio 2005

Esercizio 2. Determinare per quali valori del parametro reale x la seguente serie converge

+∞ ; ∑ ; n=1 x^{2n} \frac{1}{(2 + n)^{2}}

Enunciare il teorema di Leibniz per serie a termini di segni alternato.

Secondo esonero di Am1a 11 gennaio 2005

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione:

a_{n} = \frac{arctan(−e)^{n}}{n} + 4(−1)^{n}

Dare la definizione di maggiorante e di maggiorante definitivo.

Secondo esonero di Am1a 11 gennaio 2005

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

lim_{n→∞} \frac{e^{log_{10} n}}{n^{2} + 3}

Definire una successione di Cauchy. Enunciare il criterio di Cauchy per successioni.

Secondo esonero di Am1a 11 gennaio 2005

Esercizio 5. Dire se la seguente serie converge:

+∞ ; ∑ ; n=1(−1)^{n} \frac{1}{n^{2} − 10n + 9}

Enunciare il teorema dell’assoluta convergenza.