V tutorato di analisi matematica 1a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone

28 ottobre 2004

Esercizio 1. Trovare, qualora esistano, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi e dire se sono rispettivamente un massimo e un minimo per lo stesso insieme. Motivare le risposte verificandole attraverso la caratterizzazione.

a) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{t+1}{t−2}, t ∈ ℝ\}

b) E = \{x ∈ ℝ : x = sin \frac{nπ}{8} , n ∈ ℤ\}

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{n^{2}}{n+3}, n ∈ ℕ\}

d) E = {x ∈ ℝ : x = −n^{2} + 22n + 10, n ∈ ℕ}

d) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{n−\sqrt{n}}{n+1}, n ∈ ℕ\}

Esercizio 2. Dimostrare che:

se A è limitato superiormente, tale che l = supA ∉ A allora ∀ϵ > 0 ∃ I(l, ϵ) : I(l, ϵ) ∩ A ≠ ∅.

Esercizio 3. Si consideri in ℝ l’insieme A = {x ∈ ℝ : 0 ≤ x < 2}, dimostrare che:

a) ∀ϵ > 0, ∃ I(x, ϵ) : I(x, ϵ) ∩ A ≠ ∅.

b) ∀ϵ > 0, ∃ I(0, ϵ) e ∃I(2, ϵ) che contengono punti di A e di CA.

c) l’insieme dei punti interni A.

Esercizio 4. Si consideri in ℝ l’insieme B = \{x ∈ ℝ : x = 2 + \frac{1}{n}, n ∈ ℕ_{0}\}, dimostrare che:

a) ∀ϵ > 0, ∃ \overline{x} ∈ B : \overline{x} ∈ I(2, ϵ).

b) ∃r > 0 : I(2 + \frac{1}{4}, r) ∩ A ≠ ∅.

c) ∀r > 0, ∃I(2, r) : I(2, r) ∩ B ≠ ∅ ∧ I(2, r) ∩ CB ≠ ∅.

d) l’insieme dei punti interni di B.

Esercizio 5. Dato l’insieme A = \{a_{n} ∈ ℝ : a_{n} = (−1)^{n} \frac{n}{n+3}, n ∈ ℕ\} determinare, motivando ciascuna risposta: sup A, inf A e che ∀ϵ > 0, ∃ I(1, ϵ) : I(1, ϵ) ∩ A ≠ ∅.

Esercizio 6. Data la successione a_{n} = \frac{3^{n}−5}{2}, n ∈ ℕ:

a) dimostrare che è strettamente crescente

b) determinare il primo valore dell’indice n in corrispondenza del quale i termini della successione risultano maggiori di 10^{3}.