I tutorato di analisi matematica 1a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone

30 settembre 2004

Esercizio 1. Siano A e B i seguenti insiemi. Si trovi A ∪ B A ∩ B A \ B e si indichi se i risultanti sono insiemi aperti, chiusi o nessuno dei due:

a) A = (0, 2) B = (1, 3) b) A = (−∞, 3] B = (−∞, 1)

c) A = [−1, 0] B = (0, 1] d) A = {x ∈ ℝ : x^{2} > 4} B = (1, 3)

Esercizio 2. Dire, verificandone le propietà, quali delle seguenti sono relazioni di equivalenza in ℝ:

a) x ≤ y b) x + y è intero

c) |x| = |y| d) x(1 − y^{2}) = y(1 − x^{2})

Esercizio 3. Verificare se le seguenti sono relazioni di equivalenza e per ogni a ∈ ℝ trovare la classe di a, [a]:

a) x = y b) x^{2} + y^{2} ≥ 6 c) x^{2} + y^{2} ≥ 0

d) |x − y| ≤ 12 e) cos x = cos y e) | sin y| = \frac{1}{|x|+1}

Esercizio 4. Dire quale tra le seguenti è una partizione giustificando la risposta:

a) il parallelismo tra rette in un piano

b) sia a ∈ ℝ, |x| ≥ a x ∈ [−a, a]

c) in ℕ: {i numeri primi} {i numeri pari} \ {2}

d) in ℝ {2}, {x > 2}, {[−3, 2)}, {x < −3}

Esercizio 5. Dimostrare le seguenti uguaglianze:

a) |ab| = |a||b| b) \sqrt{a^{2}} = |a| c) |\frac{a}{b} | = \frac{|a|}{|b|}

Esercizio 6. Si consideri l’equazione \sqrt{5 − x} = 1+\sqrt{x}. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene 5−x = 1+2\sqrt{x}+x cioé 2−x = \sqrt{x}. Elevando nuovamente al quadrato si ottiene l’equazione x^{2}−5x+4 = 0 che ha soluzioni x = 4 e x = 1. Sostituendo quindi x = 4 nell’equazione di partenza si ha 1 = 3. Cos’è che non va?

Esercizio 7. Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni trigonometriche:

a) sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} b) 2 sin x = \sqrt{2} cos x c) sin x cos x = \frac{tan x}{4}

d) sin^{2} x + 2 cos^{2} x − \frac{3}{4} = 0 e) cos 2x − cos^{2} x = tan^{2} x Esercizio 8. Stabilire per quali valori del parametro reale k ha significato ciascuna espressione dove α è un angolo del IV quadrante:

a) cos β = 1 − \frac{1}{k^{2}} b) tan α = k^{2} − k

Esercizio 9. Semplifica, motivando i passaggi, le seguenti espressioni: a) [\frac{1}{cos (−α)} + \frac{cos(π−α)}{1−sin(2π−α)}] tan(π + α)

b) \frac{tan( \frac{7}{4} π)}{cos( \frac{5}{3} π)} − \frac{cos \frac{3}{4} π}{sin \frac{7}{6} π} + 2 sin(\frac{3}{4}π) cos(−\frac{π}{4} ) − sin \frac{3}{2}π