II tutorato di analisi matematica 1a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone 7 ottobre 2004

Esercizio 1. Dimostrare che:

||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b| Esercizio 2. Dimostrare che, se a, b, c ∈ ℝ^{+}, risulta:

a) a^{2} + b^{2} + c^{2} ≥ ab + bc + ac

b) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc

c) a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + a^{2}c^{2} ≥ abc(a + b + c) Esercizio 3. Dire per quali x ∈ R sono soddisfatte le seguenti

disuguaglianze:

1. con i moduli (a) |x^{2} − 3x + 2| < x + 1

(b) |\frac{|x+1|+3}{|2x|+1} | ≤ 4

(c) |2 tan^{2} x − tan x| < 2

(d) |\sqrt{3} sin x − cos x| ≤ 1

2. trigonometriche (a) \frac{sin x−cos x}{4 sin x+9} ≥ 0

(b) cos(2x) + cos(x) < 0

(c) \sqrt{3} sin x − cos x + 1 < 0

(d) (4 − \sqrt{6}) sin^{2} x − \sqrt{6} cos^{2} x + 2\sqrt{3} sin x > 2\sqrt{2} sin x (e) 4 sin x tan x − \frac{3}{cos x} < 0

3. esponenziali (a) 3^{x} − 5 · 3^{1−x} ≤ 2

(b) 3^{x−1} > \frac{4^{x+1}}{5} 4. logaritmiche

(a) log_{\frac{1}{2}} (x^{2} − 1) > 0

(b) log x + log(x + 3) < 1

(c) 2 log_{0,7}(x + 1) − log_{0,7}(x − 1) > log_{0,7}(3x − 1)

(d) log_{\frac{1}{2}} (7 − 2^{x}) − log_{\frac{1}{2}} (5 + 4^{x}) + log_{\frac{1}{2}} 7 ≥ 0

5. ...per concludere

(a) | cos x| < \frac{1}{\sqrt{2}}

(b) | log_{9}(2x^{2} − x + 1) − log_{3}(x − 2)| ≤ 1

(c) log_{2}(2 sin^{2} x − sin x + 3) > 2

(d) 2 log_{\frac{1}{2}} tan x ≤ log_{\frac{1}{2}} 3

Esercizio 4. Dimostrare che \sqrt{3} non è un numero razionale.