III tutorato di analisi matematica 1a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone 14 ottobre 2004

Esercizio 1. Verificare quale tra le seguenti è una distanza in ℝ:

a) d(x, y) = \sqrt{|x − y|}

b) d(x, y) = |x^{2} − y^{2}|

c) d(x, y) = |x − y|^{2}

d) d(x, y) = |\sqrt{|x|} − \sqrt{|y|}|

e) d(x, y) = \begin{cases}1 & se x ≠ y \\ 0 & se x = y \end{cases}

Esercizio 2. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta:

n^{n} ≥ n!

Esercizio 3. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta:

∑_{k=0}^{n}(4k + 1) = (2n + 1)(n + 1)

Esercizio 4. Si provi per induzione che, per ogni intero positivo n, risulta

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

Esercizio 5. Dimostrare la seguente proprietà, applicando il principio d’induzione: per tutti i naturali n ∈ ℕ, la potenza n-esima di 4 diminuita di 1 è divisibile per 3. Esercizio 6. Dimostrare che ∀n ∈ ℕ ⇒ ∑_{k=0}^{n} k(k + 1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} Esercizio 7. Dimostrare, per induzione, le seguenti uguaglianze:

∑_{k=0}^{n} k^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2} = (∑_{k=0}^{n} k)^{2}