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Esame scritto di Am1a 17 gennaio 2005

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

A = \{x = \frac{n\sqrt{3}}{1 + n}, n ∈ N\}

Esame scritto di Am1a 17 gennaio 2005

Esercizio 2. Dimostrare per induzione la seguente uguaglianza per ogni n ≥ 1

n ; ∑ ; k=1 \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1}

Esame scritto di Am1a 17 gennaio 2005

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione:

a_{n} = [sin^{2} (\frac{nπ}{16} ) − 1]^{n}

Esame scritto di Am1a 17 gennaio 2005

Esercizio 4. Dire per quali x ∈ R la seguente serie converge:

+∞ ; ∑ ; n=1(2^{x} − 3)^{n}

Esame scritto di Am1a 17 gennaio 2005

Esercizio 5. Stabilire per quali valori del parametro reale a la seguente successione ammette limite finito:

x_{n} = \frac{n(−1)^{n}}{n^{a} sin \frac{1}{n^{3}}}