ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

Esercizio 1 Studiare la convergenza semplice ed assoluta delle seguenti serie:

(i) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{3x−10}{2})^{n} · \frac{1}{n^{2}} (ii) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{cos nπ}{x−2} )^{n} · \frac{1}{n} (iii) ∑_{n=1}^{∞} (ln x + 4)^{n} , x > 0 (iv) ∑_{n=1}^{∞} (e^{−x} + \frac{3}{5})^{n}

(v) ∑_{n=1}^{∞} (e^{x^{2}−2} − 2)^{n} · \frac{1}{\sqrt{n}} Esercizio 2

Studiare la convergenza delle serie:

(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{ln n} (ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nπ}{e^{n}+3n} (iii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}−20n+2} (iv) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(\frac{π}{2} (2n+1))}{n} · ln n Esercizio 3 Studiare la convergenza semplice ed assoluta delle seguenti serie:

(i) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1+x}{1+nx})^{n} (ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{log(n^{2}x)}{n^{2}+x^{2}}, x > 0 (iii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{2+x^{n}} (iv) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{2n}}{n} + \frac{n^{2x}}{x} , x > 0

(v) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{3+(log x)^{2n}} , x > 0

(vi) ∑_{n=1}^{∞} log ( ^{n} \sqrt{1 + \frac{x}{n}}) , x > 0

(vii) ∑_{n=1}^{∞} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} (2a + 1)^{n} ,

(viii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x+sin \frac{x}{n}}{n^{x}}