Soluzioni VI tutorato AM01a

docenti: prof. M. Girardi, prof. P. Magrone

11 novembre 2004

Esercizio 1. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e motivare la risposta:

Sia E un insieme non vuoto di numeri reali.

a) L’estremo superiore di E è sempre punto di accumulazione per E.

FALSO: quando l’estremo superiore è anche massimo potrebbe non essere punto di accumulazione!

b) Se c è un punto di accumulazione per E, dato un arbitrario ϵ > 0, l’intervallo (c − ϵ, c + ϵ) deve contenere infiniti punti di E.

VERO!

c) Un punto di frontiera di E è un punto isolato di E.

FALSO: ad esempio l’estremo di un intervallo in ℝ è punto di frontiera ma non isolato.

d) Un punto isolato di E è un punto di frontiera di E.

VERO: nella definizione di punto di frontiera si considera anche il centro dell’interno circolare.

e) L’intervallo [a, +∞) risulta chiuso in ℝ, mentre l’insieme [a, b) non è nè aperto nè chiuso.

VERO

Esercizio 2. Dimostrare che:

a) Ogni insieme A, chiuso e limitato, ha Massimo e Minimo.

b) Se A è limitato superiormente e supA ∉ A allora supA è un punto di accumulazione di A.

Esercizio 3. Si consideri in ℝ l’insieme C = A ∪ B, dove

A = \{x ∈ ℝ : −2 < x ≤ 3\} e B = \{x ∈ ℝ : x = −2 + log (1 + \frac{1}{n})^{−1}, n ∈ ℕ_{0}}. Determinare: a) l’insieme dei punti di accumulazione di C.

Sol: {x ∈ ℝ : x ∈ [−2, 3]}

b) l’insieme dei punti isolati di C.

Sol: {x ∈ ℝ : x ∈ B}

c) l’insieme dei punti di frontiera di C.

Sol: {x ∈ ℝ : x ∈ B ∪ {−2, 3}}

d) l’insieme dei punti interni di C.

Sol: {x ∈ ℝ : x ∈ (−2, 3)}

Esercizio 4. Dati i seguenti insiemi trovere tutti i punti di accumulazione, estremo inferiore, estremo superiore e qualora esistano massimo e minimo motivando ogni risposta con la caratterizzazione.

a) E = \{x ∈ ℝ : x = (−1)^{n} \frac{n}{n+4}, n ∈ ℕ\}

Sol: fate attenzione, bisogna considerare n pari ed n dispari e considerare l’estremo (non max o min) dei due insiemi.

b) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{1}{n} + log 1/n, n ∈ ℕ_{0}\}

Sol: poichè, a meno di un numero finito di termini, gli elementi di questo insieme decrescono con n (ed inf è −∞), questo insieme non ha punti di accumulazione.

c) E = \{x ∈ ℝ : x = \frac{cos nπ}{n^{2}+16}, n ∈ ℕ\}

Sol: trattate cos nπ come (−1)^{n}.

d) E = \{x ∈ ℝ : x = n + log \frac{1}{n^{2}} , n ∈ ℕ_{0}\}

Sol: modificate la struttura del logaritmo e ricordate chi tra n e log n cresce più velocemente.

Per qualsiasi chiarimento o segnalazione di errori potete contattare il tutore del corso tramite una mail all’indirizzo urbinati_st@libero.it