ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE

Esercizio 1 Calcolare i seguenti limiti facendo uso, se occorre, dei limti notevoli:

(i) lim_{n→∞} (\sqrt{n^{2} + 1} − \frac{n^{2}+1}{n+1}) (ii) lim_{n→∞} ln ^{n} \sqrt{1 + a^{n}}, a ≥ 1 (iii) lim_{n→∞} ^{\frac{2^{\sqrt{(ln n)^{2}+ln n^{2}}}}{n^{2}+1}} (iv) lim_{n→∞} ^{\frac{10^{\sqrt{(ln n)^{2}+ln n^{2}}}}{n^{2}+1}}

(v) lim_{n→∞} (1 + tan \frac{1}{n})^{n} (vi) lim_{n→∞} arctan(n^{2} − 1)\frac{cos 2nπ}{nπ} (vii) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{2n})^{3n+ln n} (viii) lim_{n→∞} \frac{2+n^{2}}{n^{3}} cot \frac{1}{n} (ix) lim_{n→∞} (1 + \frac{2}{n^{3}} + \frac{1}{n})^{cot ^{\frac{1}{n}}}

(x) lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n − 1})\sqrt{n} (xi) lim_{n→∞} n^{2} \frac{2^{n}}{3^{n}} (xii) lim_{n→∞} \frac{n^{2}−sin n}{n^{2}+n} (xiii) lim_{n→∞} ( ^{n} \sqrt{a} − 1)^{n} , a ∈ R^{+} (xiv) lim_{n→∞} \frac{n^{3}+n^{2} sin \frac{1}{n}}{n^{2}+1} (xv) lim_{n→∞}(cos πx)^{2n} determinare per quali x ∈ R la successione converge.

(xvi) lim_{n→∞} \frac{n^{2} sin \frac{1}{n} (ln n)^{2}}{(n+1)^{2}}

(xvii) lim_{n→∞} n [(n + 2)^{\frac{1}{3}} − n^{\frac{1}{3}} ]

(xviii) lim_{n→∞} (\frac{n}{n−1})^{\frac{n}{n+1}}

(xix) lim_{n→∞} (\frac{n^{2}+n}{n^{2}−n+2})^{n}

(xx) lim_{n→∞} (2^{n} + 3^{n})^{\frac{1}{n}}

(xxi) lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}

(xxii) lim_{n→∞} \frac{n^{2}+2}{n} − \sqrt{n^{2} + 4}

Esercizio 2 Usando la definizione di limite dimostrare che:

(a) lim_{n→∞} \frac{n^{2}−8n+4}{n−4} = +∞

(b) lim_{n→∞} ln(1 + \frac{1}{n}) = 0

(c) lim_{n→∞} e^{1+ \frac{1}{n}} = e

Esercizio 3 Dire per quali valori del parametro reale a ∈ IR la seguente successione ammette limite finito o infinito:

x_{n} = a^{n} \frac{(−1)^{n}}{(n^{2} + 1) sin \frac{1}{n^{2}}} .

Esercizio 4 Teoremi di Cesaro: Teorema 1 : Se la successione di termine generale a_{n} ha per limite l, finito o infinito, allora si ha lim_{n→∞} \frac{a_{1}+...+a_{n}}{n} = l. Teorema 2 : Se a_{n} > 0 é tale che lim_{n→∞} a_{n} = l, finito o infinito, allora si ha lim_{n→∞}(a_{1} · . . . · a_{n})^{\frac{1}{n}} = l. Teorema 3 : Se a_{n} é tale che lim_{n→∞}(a_{n+1} − a_{n}) = l, finito o infinito, allora lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{n} = l. Teorema 4 : Se a_{n} > 0 é tale che lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = l, finito o infinito, allora lim_{n→∞}(a_{n})^{\frac{1}{n}} = l. Utilizzando i teoremi di Cesaro calcolare i seguenti limiti:

(a) lim_{n→∞} \frac{1+2^{\frac{1}{2}} +3^{\frac{1}{3}} +....+n^{\frac{1}{n}}}{n}

(b) lim_{n→∞}(n!)^{\frac{1}{n}} (c) lim_{n→∞} ^{\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}}

(d) lim_{n→∞} ^{\frac{(n!)^{\frac{1}{2n}}}{n}}

Esercizio 5 Verificare che una successione a_{n} converge ad un numero l se e soltanto se entrambe le sottosuccessioni a_{2n} e a_{2n−1} convergono allo stesso limite l.

Esercizio 6 Supponiamo che le sottosuccessioni a_{2n} e a_{2n−1} estratte da una successione a_{n} siano entrambre monotone. Dimostrare che , se lim_{n→∞}(a_{2n} − a_{2n−1}) = 0, allora a_{n} ammette limite.

Esercizio 7 Verificare con un esempio che l’enunciato dell’esercizio precedente non é invertibile, ovvero esistono successioni a_{n} che ammettono limite, tali che a_{2n} e a_{2n−1} sono monotone ma lim_{n→∞}(a_{2n} − a_{2n−1}) ≠ 0.