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PRIMO ESONERO DI CAM 13 aprile 2005

Esercizio 1. Data la funzione

f(x) = cos xe^{\frac{1}{2} sin x}

determinarne: insieme di esistenza, zeri, limiti ed eventuali asintoti, massimi e minimi relativi e tracciarne un grafico approssimativo.

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Esercizio 2. Dato un triangolo rettangolo avente la somma S dei cateti fissata, trovare quello di ipotenusa minima. Quello di ipotenusa massima esiste...?

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Esercizio 3. Dire se la segunte fuzione é uniformemente continua nei domini indicati:

f(x) = \frac{e^{x} cos x}{x^{2}} x ∈ (−∞, −1], x ∈ (0, 1).

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Esercizio 4. Dire quante sono le radici reali del polinomio

P (x) = \frac{x^{n+1}}{n + 1} − 10x + 100, n intero, dispari.

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Esercizio 5. Siano f e g due funzioni derivabili, enunciare la regola di derivazione della funzione composta f ∘ g. Sia f una fuzione invertibile con inversa derivabile, enunciare la regola della derivata della funzione f^{−1}. Dare la definizione di punto di massimo relativo per una funzione. Dare la definizione di funzione uniformemente continua. Enunciare una condizione necessaria e sufficiente affinché una fuzione continua in un intervallo aperto limitato sia in esso uniformemente continua. Dare una esempio di: una funzione che sia uniformemente continua in (0, 1); una funzione che sia uniformemente continua in [1, +∞); una funzione che non sia uniformemente continua in [1, +∞).