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Esame scritto di CAM 26 gennaio 2006

Esercizio 1. Data la funzione

f(x) = ∫_{10x}^{11x} \frac{sin t}{t}dt

calcolare lim_{x→0} \frac{f(x)}{x}.

Esame scritto di CAM 26 gennaio 2006

Esercizio 2. Data la funzione

f(x) = arctan(e^{x} − 1)

determinarne: insieme di esistenza, zeri, limiti, derivata prima, zeri della derivata prima, massimi e minimi relativi. Tracciarne un grafico approssimativo.

Esame scritto di CAM 26 gennaio 2006

Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{cos x}{ln(sin x) sin x}dx, ∫ \frac{2x + 2}{(x + 2)^{2}}dx

Esame scritto di CAM 26 gennaio 2006

Esercizio 4. Stabilire se il seguente integrale converge o meno

∫_{0}^{1} arctan (\frac{1}{x^{2}} ) \frac{\sqrt{x} − 5x^{2} + 1}{\sqrt{x} + 7x^{5}}dx

Esame scritto di CAM 26 gennaio 2006

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite usando la formula di Taylor

lim_{x→0} \frac{2 ln(cos(x + x^{2})) + x^{2}}{x − sin x}