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Esame scritto di CAM 17 giugno 2005

Esercizio 1. Data la funzione

f(x) = \frac{1}{x} ∫_{0}^{x} arctan^{2} t dt

determinarne: insieme di esistenza, zeri, limiti a +∞ e in 0, derivata prima, zeri della derivata prima. Tracciarne un grafico approssimativo.

Esame scritto di CAM 17 giugno 2005

Esercizio 2. Dimostrare che, se f é continua in [a, b], esiste un costante L tale che

|F (x) − F (y)| ≤ L|x − y| ∀ x, y ∈ [a, b]

dove F (x) = ∫_{0}^{x} f(t)dt.

(Suggerimento: ricordare il Teorema della Media Integrale)

Esame scritto di CAM 17 giugno 2005

Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali:

∫0^{\frac{π}{2}} \frac{cos x dx}{6 − 5 sin x + sin^{2} x}, ∫ \frac{e^{x} dx}{\sqrt{1 − e^{2x}}}

Esame scritto di CAM 17 giugno 2005

Esercizio 4. Stabilire se il seguente integrale converge o meno

∫_{2}^{+∞} \frac{log(1 + x^{4})}{1 + x^{3}}dx

Esame scritto di CAM 17 giugno 2005

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite usando la formula di Taylor

lim_{x→0} \frac{e^{sin x} − 1}{log(1 + x^{4})}