ESERCIZI SULLE DERIVATE

(1) Per quali t ∈ ℝ è derivabile F (t) = ∫_{0}^{t} \sqrt{x}dx.

(2) Calcolare la derivata dell seguenti funzioni:

1. ∫_{0}^{√\overline{x}} e^{t^{2}}dt

2. ∫_{1}^{e^{x}} log tdt

3. ∫_{0}^{sin x} \frac{1}{1 − t^{2}} dt

4. ∫_{x}^{1} sin^{2} tdt

(3) Sia f derivabile in [a, b], provare, usando il teorema del valor medio, che: 1. f′(x) = 0 ∀x ∈ [a, b] ⇒ f é costante in [a, b]

2. f′(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] ⇒ f é monotona in [a, b]

3. f′(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] ⇒ f é iniettiva in [a, b]

(4) Sia f pari ∀x ∈ ℝ, provare che f′ é dispari. Sia g dispari, provare che g′ é pari. Sia f : ℝ ⟶ ℝ derivabile. Dire per quali x ∈ ℝ la funzione \frac{1}{f(x)} risulta derivabile a calcolarne la derivata.

(5) Calcolare lim_{x→0} \frac{x ∫_{0}^{x} cos t^{2}}{1 − cos x} dt.

(5) Sia F (x) = ∫_{2}^{x} (1 − \frac{sin^{2} t}{t^{2}}) dt per x > 0, verificare che:

a) F (x) é monotona b) F (x) ammette asintoto obliquo

c) Stabilire se F (x) ha punti di flesso in (0, π) .

(6) Con un foglio di lati a e b si vuole costruire una scatola (senza coperchio) ritagliando 4 quadrati di lato r agli angoli e ripiegando il lembi.Come si deve scegliere r affinché il volume sia massimo?