11. ESERCIZI SULLO STUDIO DEL GRAFICO DI FUNZIONI

Si puó seguire il seguente schema per studiare il grafico di una funzione: ♣ Insieme di esistenza (I_{E}); ♣ Zeri, segno; ♣ Limiti: nei punti esclusi dall’ insieme di esistenza e all’ infinito, ovviamente se l’ I_{E} é illimitato. In questo modo si trovano gli eventuali asintoti: se lim_{x→x_{0}^{+}} f(x) = ±∞ la funzione f(x) ha un asintoto verticale per x = x_{0}, a destra della retta x = x_{0}; se lim_{x→x_{0}^{−}} f(x) = ±∞ la funzione f(x) ha un asintoto verticale per x = x_{0}, a sinistra della retta x = x_{0}; se lim_{x→±∞} f(x) = l ∈ IR la funzione f(x) ha un asintoto orizzontale di equazione y = l; se lim_{x→±∞} f(x) = ±∞ la funzione f(x) puó avere un asintoto obliquo per x → ±∞. In tal caso si ha che la retta y = ax + b é asintoto obliquo per la funzione f(x) se e solo se: lim_{x→±∞} \frac{f(x)}{x} = a, e lim_{x→±∞}(f(x) − ax) = b. ♣ Derivata prima: calcolarla e studiarne zeri e segno: dove f′(x) > 0 la funzione é crescente, dove f′(x) < 0 la funzione é decrescente, se f′(x_{0}) = 0 nel punto x_{0} puó esserci un massimo o un minimo (si capisce dal segno della derivata in un intorno del punto); ♣ Massimi e minimi; ♣ Eventuale calcolo della derivata seconda, per capire se i punti che annullano la derivata prima sono di massimo o di minimo e per studiare la concavitá della funzione.

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Studiare le seguenti funzioni:

f_{1}(x) = \frac{x|x|+1}{e^{x}}

f_{2}(x) = arctan \sqrt{\frac{x−1}{x−2}} f_{3}(x) = \frac{1}{e^{x}−3}

f_{4}(x) = ln(1 + sin x)

f_{5}(x) = \frac{x}{x−1}e^{−x}

f_{6}(x) = xe^{\frac{2}{\sqrt{x−2}}}

f_{7}(x) = |\frac{x−3}{1−x} | \frac{1}{x^{2}}

f_{8}(x) = arctan \frac{x−2}{x^{2}+3}

f_{9}(x) = \sqrt{log(x + 1)}

f_{10}(x) = \sqrt{log(arcsin x) − log(arcsin \frac{\sqrt{2}}{2})}

f_{11}(x) = \sqrt{log x − log \sqrt{x}}