ESERCIZI SUGLI INTEGRALI

ESERCIZIO I : integrali di funzioni razionali

1) ∫ \frac{x − 1}{(x^{2} + 2x + 3)^{2}} dx

Svolgimento: Il discriminante del denominatore é negativo. Mi riconduco ad un integrale del tipo ∫ \frac{f′}{f} e poi integro la parte restante.

∫ \frac{x − 1}{(x^{2} + 2x + 3)^{2}} dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{2x + 2}{(x^{2} + 2x + 3)^{2}} dx − 2 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 2x + 3)^{2}} =

= −\frac{1}{2(x^{2} + 2x + 3)} − 2 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 2x + 3)^{2}} ,

sostituendo nell’ultimo integrale t = x + 1, quindi dt = dx, si ha

−2 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 2x + 3)^{2}} = −2 ∫ \frac{dt}{(t^{2} + 2)^{2}} = − ∫ \frac{1}{t^{2} + 2} + ∫ \frac{t^{2}}{(t^{2} + 2)^{2}} =

= −\frac{1}{\sqrt{2}} arctan \frac{t}{\sqrt{2}} + ∫ \frac{t^{2}}{(t^{2} + 2)^{2}}

L’ultimo integrale é uguale a

∫ \frac{t^{2}}{(t^{2} + 2)^{2}} = \frac{1}{2} ∫ t (\frac{2t}{(t^{2} + 2)^{2}} ) dt =

per parti

= −\frac{1}{2} \frac{t}{t^{2} + 2} + \frac{1}{2} ∫ \frac{dt}{t^{2} + 2} = −\frac{1}{2} \frac{t}{t^{2} + 2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} arctan \frac{t}{\sqrt{2}}

Ricapitolando e sostituendo t = x + 1 si ha:

−\frac{1}{2(x^{2} + 2x + 3)} − \frac{1}{\sqrt{2}} arctan \frac{x + 1}{\sqrt{2}} − \frac{x + 1}{2(x + 1)^{2} + 4} + \frac{1}{2\sqrt{2}} arctan \frac{x + 1}{\sqrt{2}} =

= −\frac{1}{2\sqrt{2}} arctan \frac{t}{\sqrt{2}} − \frac{x + 2}{2(x^{2} + 2x + 3)} + C

In modo analogo risolvere:

2) ∫ \frac{2x−1}{(x−1)(x−2)}dx  [R. log |\frac{(x−2)^{3}}{x−1} | + C]

3) ∫ \frac{x dx}{(x+1)(x+3)(x+5)}  [R.\frac{1}{8} log \frac{(x+3)^{6}}{|x+5|^{5}|x+1|} + C]

4) ∫ \frac{x^{3}−6 dx}{x^{4}+6x^{2}+8}  [R. log \frac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}+2}} + \frac{3}{2} arctan \frac{x}{2} − \frac{3}{\sqrt{2}} arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C]
5) ∫ \frac{x^{5} dx}{x^{3}−1}  [R.\frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{3} log(x^{3} − 1) + C]
6) ∫ \frac{4 dx}{x^{4}+1}  [R.\frac{1}{\sqrt{2}} log \frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}−\sqrt{2}x+1} + \sqrt{2} arctan \frac{x\sqrt{2}}{1−x^{2}} + C]

ESERCIZIO II : integrali di funzioni irrazionali

Sostituzioni utili:

Se k é un denominatore comune delle frazioni \frac{m}{n}, .., \frac{r}{s}, esponenti della x nella funzione integranda, si puó sostituire x = t^{k}, dx = kt^{k−1}dt. Si ottiene una funzione razionale in t.

Se nell’integranda appaiono termini del tipo (\frac{ax+b}{cx+d})^{\frac{m}{n}} , estendendo quanto detto prima si puó sostituire

t^{k} = \frac{ax + b}{cx + d}.

Si ottiene una funzione razionale in t.

Per integrali del tipo

∫ F (x, \sqrt{ax^{2} + bx + c})dx

prima sostituzione di Eulero: a > 0 si ponga \sqrt{ax^{2} + bx + c} = ±\sqrt{a}x + t. seconda sostituzione di Eulero: c > 0 si ponga \sqrt{ax^{2} + bx + c} = xt ± \sqrt{c}. terza sostituzione di Eulero: ax^{2} + bx + c = (x − α)(x − β), α, β ∈ IR si ponga \sqrt{ax^{2} + bx + c} = ±\sqrt{a}x + t.

Svolgere i seguenti esercizi:

7) ∫ \frac{(1 − \sqrt{1 + x + x^{2}})^{2}}{x^{2}\sqrt{1 + x + x^{2}}} dx

Svolgimento: usiamo la seconda sostituzione: \sqrt{1 + x + x^{2}} = xt + 1, quindi x = \frac{2t−1}{1−t^{2}}, dx = \frac{2t^{2}−2t+2}{(1−t^{2})^{2}}. Sostituendo nell’integrale si ha:

∫ \frac{(1 − \sqrt{1 + x + x^{2}})^{2}}{x^{2}\sqrt{1 + x + x^{2}}} dx = 2 ∫ \frac{t^{2}}{1 − t^{2}} dt = ∫ −2 + ∫ \frac{1}{1 − t^{2}} dt =

= −2t − ∫ \frac{1}{1 − t}dt + ∫ \frac{1}{1 + t}dt = −2t − log |1 − t| + log |1 + t| + C.

Infine sostituendo t = \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}−1}{x} otteniamo

−2\frac{\sqrt{1 + x + x^{2}} − 1}{x} + log |2x + 2\sqrt{1 + x + x^{2}} + 1| + C.

8) ∫ \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ ^{4} & \sqrt{x^{3}} \end{matrix} dx  [R.\frac{4}{3}[ ^{4} \sqrt{x^{3}} − log( ^{4} \sqrt{x^{3}} + 1)] + C]

9) ∫ \sqrt{\frac{1−x}{1+x}} \frac{dx}{x^{2}}  [R. log |\frac{\sqrt{1−x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1−x}−\sqrt{1+x}} | − \frac{\sqrt{1−x^{2}}}{x} + C]

10) ∫ \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}−x+3}}  [R.\frac{1}{\sqrt{3}} log |\frac{\sqrt{x^{2}−x+3}−\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}} | + C]
11) ∫ \frac{\sqrt{x^{2}+2x}dx}{x}  [R.\sqrt{x^{2} + 2x} + log |x + 1 + \sqrt{x^{2} + 2x}| + C]
12) ∫ \frac{dx}{x−\sqrt{x^{2}−1}}  [R.\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} − 1} − \frac{1}{2} log |x + \sqrt{x^{2} − 1}| + C]

13) ∫ \frac{(x+1)dx}{2x+x^{2}\sqrt{2x+x^{2}}}  [R. − \frac{1}{\sqrt{2x+x^{2}}} + C]

14) ∫ \frac{\sqrt{x^{2}+4x}dx}{x^{2}}  [R. − \frac{8}{x^{2}+\sqrt{4x+x^{2}}} + log |x + 2 + \sqrt{4x + x^{2}}| + C]

ESERCIZIO III : integrali di alcune classi di funzioni trigonometriche

Puó essere utile la sostituzione: tan \frac{x}{2} = t, quindi sin x = \frac{2t}{1+t^{2}} , cos x = \frac{1−t^{2}}{1+t^{2}} , dx = \frac{2dt}{1+t^{2}} .

Calcolare l’integrale

15) ∫ \frac{sin x}{1 + cos^{2} x}dx

Svolgimento: sostituiamo tan \frac{x}{2} = t quindi

∫ \frac{sin x}{1 + cos^{2} x}dx = 2 ∫ \frac{tdt}{t^{4} + 1}

Procedendo analogamente all’esercizio 6 si ottiene \frac{2t}{t^{4}+1} = \frac{2t}{(t^{2}−\sqrt{2}t+1)(t^{2}+\sqrt{2}t+1)}.... Svolgere i seguenti esercizi:

16) ∫ sin^{5} xdx  [R. − cos x + \frac{2}{3} cos^{3} x − \frac{cos^{5} x}{5} + C]
17) ∫ cos^{4} x sin^{3} xdx  [R. − \frac{1}{5} cos^{5} x + \frac{1}{7} cos^{7} x + C]
18) ∫ \frac{dx}{4−5 sin x}  [R.\frac{1}{3} log |\frac{tan \frac{x}{2} −2}{2 tan \frac{x}{2} −1} | + C]
19) ∫ \frac{dx}{(1+cos x)^{2}}  [R.\frac{1}{2} tan \frac{x}{2} + \frac{1}{6} tan^{3} \frac{x}{2} + C]
20) ∫ \frac{sin^{2} x dx}{1+cos^{2} x}  [R.\sqrt{2} arctan (\frac{tan x}{\sqrt{2}}) − x + C]