8. ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONI

UNA LISTA DI LIMITI NOTEVOLI DA UTILIZZARE: lim_{x→+∞} x^{\frac{1}{x}} = 1 lim_{x→+∞} a^{\frac{1}{x}} = 1 ∀a > 0 lim_{x→+∞} \frac{(log x)^{α}}{x^{β}} = 0 α, β > 0 lim_{x→+∞} \frac{(x)^{α}}{a^{x}} = 0 lim_{x→ +,−∞} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e lim_{x→+∞} (1 + \frac{a}{x})^{x} = e^{a} lim_{x→ 0} (\frac{sin x}{x}) = 1 lim_{x→ 0} (\frac{e^{x}−1}{x}) = 1 lim_{x→ 0} (\frac{1−cos x}{x^{2}}) = \frac{1}{2} lim_{x→ 0} (\frac{log(1+x)}{x}) = 1 ESERCIZIO 1 Calcolare i seguenti limiti:

(a) lim_{x→0} x^{x};

(b) lim_{x→0} x ln x;

(c) lim_{x→0} \frac{ln(1+x)}{x};

(d) lim_{x→1^{+}} ^{\begin{matrix}ln & (1+\sqrt{x−1}) \\ √ & \overline{x^{2}−1} \end{matrix}};

(e) lim_{x→0} \frac{e^{x}−1}{x};

(f) lim_{x→0^{+}}(1 + | sin x|)^{\frac{1}{x}};

(g) lim_{x→∞} xe^{x} sin (e^{−x} sin \frac{2}{x});

(h) lim_{x→0} \frac{1−cos 2x}{sin^{2} 3x}; (i)(*) lim_{x→0} \frac{sin(π cos x)}{x sin x};

(j) lim_{x→ \frac{π}{2}} tan x(e^{cos x} − 1);

(k) lim_{x→0} \frac{e^{tan^{3} x−1}}{x(cos x−e^{x^{2}} )};

(l) lim_{x→0} \frac{x−5}{\sqrt{x}−\sqrt{5}};

(m) lim_{x→0} \frac{3 tan x+(1−cos 2x) sin^{2} x}{27x^{4}+5 sin x}; ESERCIZIO 2 Verificare che i seguenti limiti non esistono:

(a) lim_{x→0} \frac{x}{|x|};

(b) lim_{x→4}[x]{x}, dove {·} indica la funzione parte frazionaria;

(c) lim_{x→0} \frac{x cos x}{|x|};

(d) lim_{x→0} |x|^{\frac{1}{x}} .