Simulazione del secondo esonero di CAM

(le soluzioni verranno fornite in rete)

Un consiglio: fatelo da soli e senza libri in tre ore, altrimenti che simulazione sarebbe??

Giustificare tutte le affermazioni

Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{2x + log x^{3} + 3}{1 + x^{2} + x log x^{3}} dx; ∫ sin(2x) · cos^{2}(2x)dx

Esercizio 2. Determinare per quali valori di α ∈ IR il seguente integrale improprio converge

∫_{0}^{1} \frac{(e^{αx} − 1 − x) · sin x · log x}{x log(1 + x^{2})}

Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti utilizzando la formula di Taylor:

lim_{x→0} \frac{arcsin x − x}{1 − \sqrt{1 − x^{3}}} ; lim_{x→0} \frac{x^{2} − sin^{2} x}{x^{3}(e^{x} − cos x)}

Esercizio 4. Sia f : IR → IR una funzione continua. Dimostrare che se lim_{x→+∞} f(x) = a, allora

lim_{x→+∞} ∫_{x}^{x+1} f(t)dt = a.

Suggerimento: usare la definizione di limite di funzione, e sfruttare la monotonia dell’integrale.

Esercizio 5. Enunciare uno dei due teoremi di de L’Hopital (con TUTTE le ipotesi!!!). Enunciare il Teorema del confronto per integrali impropri. Dare un esempio di :

(a) funzione integrabile in senso improprio in [1, +∞);

(b) funzione definita in (2, 3), avente un asintoto verticale in x = 2, integrabile in senso improprio in (2, 3);

(c) funzione definita in (1, +∞), avente un asintoto verticale in x = 1, integrabile in senso improprio in (1, +∞) (costruitela!!!).