Simulazione di esonero di CAM

(le soluzioni verranno fornite e spiegate durante l’esercitazione del 5 aprile p.v.)

Un consiglio: fatelo da soli e senza libri in tre ore, altrimenti che simulazione sarebbe??

Giustificare tutte le affermazioni

Esercizio 1. Data la funzione:

f(x) = arctan \sqrt{\frac{x − 1}{x − 2}}

Determinarne: insieme di esistenza, limiti ed eventuali asintoti, massimi e minimi relativi, concavitá e convessitá e tracciarne un grafico approssimativo.

Esercizio 2. Dire se le seguenti funzioni sono uniformemente continue nei domini indicati:

f(x) = sin x^{2} x ∈ [π, 2π], x ∈ [π, +∞)(difficile...)

g(x) = (1 + \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x})^{cot ^{\frac{1}{x}}} , x ∈ [5, +∞)

Esercizio 3. Un triangolo rettangolo di ipotenusa data viene fatto ruotare attorno a uno dei due cateti per generare un cono circolare retto. Si trovi il cono di volume massimo. (Volume cono V = \frac{1}{3}πr^{2}h).

Esercizio 4. Sia f continua e derivabile due volte in (a, b), con derivata prima continua. Supponiamo che esista un punto c ∈ (a, b) tale che f(a) = f(b) = f(c). Dimostrare che esiste y ∈ (a, b) tale che f′′(y) = 0.

Esercizio 5. Dare le seguenti definizioni: funzione uniformemente continua, funzione di classe C^{k}, funzione derivabile. Enunciare il Teorema di Rolle.