Schema sullo Studio di Funzione

Manuela Grella & Simona Giovannetti

15 marzo 2005

Per disegnare in un piano cartesiano il grafico di una funzione y = f(x) è opportuno seguire il seguente schema:

(1) Inizialmente si determini il dominio I della f(x).

(2) Si esamini se la funzione f(x) gode di qualche proprietà di simmetria; ad esempio si esamini se f(x) è: pari (cioè f(−x) = f(x) ∀x ∈ I), dispari (cioè f(−x) = −f(x) ∀x ∈ I), periodica di periodo T (ossia f(x + T) = f(x) ∀x ∈ I). Se la funzione è pari o dispari, basta studiarla per x ≥ 0; poi è possibile disegnare per simmetria il grafico della funzione anche per x < 0. Analogamente, se la funzione è periodica di periodo T, è sufficiente studiarla in un intervallo di lunghezza T.

(3) Se è semplice si può determinare il segno della funzione , cioè determinare per quali x risulta f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0. È bello osservare che, in alcuni casi, può essere molto complicato risolvere l’equazione del tipo f(x) = 0, o la disequazione f(x) > 0, e la risoluzione è spesso facilitata dallo studio preliminare del segno della derivata prima e del calcolo degli asintoti.

(4) Si determinano gli eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui (calcolando i limiti agli estremi degli intervalli di definizione, se l’insieme di definizione è costituito da una unione di intervalli).

(5) Si determinano gli eventuali punti dell’insieme di definizione dove la funzione non è continua, o dove non è derivabile.

(6) Si calcola, quando esiste, la derivata prima e si stabilisce per quali valori x risulta f′(x) = 0, f′(x) > 0 e f′(x) < 0: in base a ciò si determinano gli intervalli in cui la funzione risulta crescente (f′(x) > 0) o decrescente (f′(x) < 0) ed i punti di massimo o di minimo relativo o flessi orizzontali (f′(x) = 0).

(7) Si calcola, se esiste, la derivata seconda e si determinano i valori di x per cui risulta f′′(x) = 0, f′′(x) > 0 e f′′(x) < 0: in base a ciò si determinano gli intervalli in cui la funzione è concava (f′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b)) o convessa (f′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b)) e gli eventuali punti di flesso(f′′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b)).

È utile ricordare che per il calcolo del massimo, del minimo e dei flessi si usa sopratutto il metodo delle derivate successive.

Ecco alcune definizioni importanti:

Definizione 1. Una funzione f(x) definita in [a, b] è convessa in tale intervallo se ∀x_{1}, x_{2} ∈ [a, b], risulta

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}), ∀λ ∈ [0.1].

Definizione 2. Una funzione f(x) definita in [a, b] è concava in tale intervallo se ∀x_{1}, x_{2} ∈ [a, b], risulta

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≥ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}), ∀λ ∈ [0.1].

Asintoti

Una fnzione f(x) ammette per x → +∞ (oppure x → −∞) asintoto orizzontale di equazione y = l se

lim_{x→+∞} f(x) = l

(oppure lim_{x→−∞} f(x) = l)).

Una funzione f(x) ammette asintoto verticale, per x → x_{0}^{+} (oppure x → x_{0}^{−}), di equazione x = x_{0} se

lim_{x→x_{0}^{+}} = +∞ o − ∞

(oppure lim_{x→x_{0}^{−}} = +∞ o − ∞).

Un asintoto obliquo per x → +∞ (analogamente per x → −∞) per una funzione f(x) è una retta di equazioni y = mx + q tale che

lim_{x→+∞}[f(x) − (mx + q)] = 0

Le costanti m, q si determinano calcolando i limiti:

m = lim_{x→+∞} \frac{f(x)}{x}, q = lim_{x→+∞}[f(x) − mx]

Notiamo che se una funzione ammette asintoto orizzontale per x → +∞, è inutile esaminare successivamente se esiste anche un asintoto obliquo per x → +∞.