Integrali Impropri

Manuela Grella & Simona Giovannetti

10 maggio 2005

Soluzione 1. (i) La funzione integranda è positiva e illimitata in x = 0. Si calcola l’ordine di infinito della funzione integranda per x → 0^{+} rispetto alla funzione di base \frac{1}{x}:

lim_{x→0^{+}} \frac{\frac{e^{x}}{x}}{(\frac{1}{x})^{α}} = lim_{x→0^{+}} e^{x}x^{α−1}

a) Per α > 1 si ha lim_{x→0^{+}} e^{x}x^{α−1} = 0;

b) Per α < 1 si ha lim_{x→0^{+}} e^{x}x^{α−1} = +∞ essendo 1 − α > 0;

c) Per α = 1 si ha lim_{x→0^{+}} e^{x}x^{α−1} = lim_{x→0^{+}} e^{x} = 1.

Poiché l’ordine d’infinito della funzione integranda, per x → 0^{+}, è uguale a 1, la funzione non è integrabile in senso generalizzato in (0, 1]

(ii) La funzione integranda è positiva e illimitata in x = 1. Si calcola ora l’ordine di infinito della funzione integranda per x → 1^{−} rispetto alla funzione di base \frac{1}{1−x}:

lim_{x→1^{−}} \frac{\frac{sin x}{\sqrt{1−x}}}{(\frac{1}{1−x})^{α}} = lim_{x→1^{−}} sin x(1 − x)^{α− \frac{1}{2}}

Affinché l’ultimo limite sia finito e diverso da zero è necessario che sia α − \frac{1}{2} = 0, ossia α = \frac{1}{2} < 1, qindi la funzione \frac{sin x}{\sqrt{1−x}} è integrabile in senso improprio in [0, 1).

(iii) La funzione integranda è positiva e illimitata in x = 1. L’integrale è convergente in senso improprio se sono convergenti entrambi gli integrali impropri I_{1} = ∫_{0}^{2} f(x)dx e I_{1} = ∫_{2}^{4} f(x)dx. Presi due punti 0 < c_{1} < 2 e 2 < c_{2}4 si calcolano i due integrali:

I_{c_{1}} = ∫_{0}^{c_{1}} \frac{1}{\sqrt[3]{(x − 2)^{2}}} dx = 3\sqrt[3]{c_{1} − 2} − 3\sqrt[3]{−2}

I_{c_{2}} = ∫_{c_{2}}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{(x − 2)^{2}}} dx = 3\sqrt[3]{2} − 3\sqrt[3]{c_{2} − 2}

Infine si calcolano i limiti:

I_{1} = lim_{c_{1}→2^{−}} I_{c_{1}} = 3\sqrt[3]{2} I_{2} = lim_{c_{2}→2^{−}} I_{c_{2}} = 3\sqrt[3]{2}

Poiché i due integrali sono convergenti allora anche I è convergente in [0, 4] ed assume valore I = I_{1} + I_{2} = 6\sqrt[3]{2}

(iv) La funzione integranda è continua e positiva in (0, 1/2] e illimitata in x = 0. Preso un punto c, con 0 < c < 1/2 si calcola l’integrale definito:

I_{c} = ∫c^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1 − x}}dx = ∫c^{\frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{1 − (\sqrt{x})^{2}}} dx = \frac{π}{2} − 2 arcsin \sqrt{c}

Facendo il limite per c → 0^{+} otteniamo che I_{c} = \frac{π}{2} .

(v) La funzione integranda f(x) = \frac{1}{x ln x} è continua in [2, +∞) ed è infinitesima per x → +∞. Si calcola ora l’ordine di infinitesimo della funzione rispetto alla funzione di riferimento \frac{1}{x}.

a) Per 0 < α < 1 si ha:

lim_{x→+∞} \frac{\frac{1}{x ln x}}{(\frac{1}{x})^{α}} = 0

per cui f(x) è infinitesima di ordine maggiore di ogni numero α < 1 rispetto a \frac{1}{x}

b) Per α = 1 si ha:

lim_{x→+∞} \frac{\frac{1}{x ln x}}{(\frac{1}{x})^{α}} = 0

per cui f(x) è infinitesima di ordine maggiore di 1.

c)