SOLUZIONI PRIMO ESONERO DI CAM 13 aprile 2005

Esercizio 1. Data la funzione

f(x) = cos xe^{\frac{1}{2} sin x}

determinarne: insieme di esistenza, zeri, limiti ed eventuali asintoti, massimi e minimi relativi e tracciarne un grafico approssimativo. Insieme di esistenza: IR, la studiamo tra 0 e 2π dato che é periodica. f(\frac{π}{2}) = 0 = f(\frac{3π}{2}), f(0) = 1 = f(2π). Non ci sono asintoti verticali, il limite a ±∞ non esiste.

f′(x) = e^{\frac{1}{2} sin x} (\frac{1}{2} − \frac{1}{2}sin^{2}x − sin x) ≥ 0 ⇔

\frac{1}{2} − \frac{1}{2}sin^{2}x − sin x ≥ 0

poniamo y = sin x, quindi dobbiamo risolvere la diseq. di secondo grado

\frac{1}{2} − \frac{1}{2}y^{2} − y

le soluzioni sono y = 1 ± \sqrt{2}, e, tornando al seno di x, scartiamo −1−\sqrt{2}. Quindi f′(x) ≥ 0 se sin x ≤ −1+\sqrt{2}, ovvero, se α = arcsin(−1 + \sqrt{2}), 0 ≤ x ≤ α e π − α ≤ x ≤ 2π. Pertanto x = α é un punto di massimo relativo, x = π − α é un punto di minimo relativo.

Esercizio 2. Dato un triangolo rettangolo avente la somma S dei cateti fissata, trovare quello di ipotenusa minima. Quello di ipotenusa massima esiste...? Siano x e S − x i due cateti. L’ipotenusa si puó esprimere conm il T. di Pitagora: f(x) = \sqrt{x^{2} + (S − x)^{2}}= \sqrt{2x^{2} − 2Sx + S^{2}}.

f′(x) = \frac{2x − S}{\sqrt{2x^{2} − 2Sx + S^{2}}} ≥ 0 ⇔ x > \frac{S}{2} .

Pertanto x = \frac{S}{2} é un minimo. Per quanto riguarda l’ipotenusa massima, si puó osservare che essa non esiste, cioé la funzione assume un sup e non un massimo. Infatti si ottiene l’ipotenusa massima se la figura diventa degenere, ovvero l’ipotanusa tende alla somma dei cateti S, quindi il triangolo si schiaccia e diventa un segmento.

Esercizio 3. Dire se la segunte fuzione é uniformemente continua nei domini indicati:

f(x) = \frac{e^{x} cos x}{x^{2}} x ∈ (−∞, −1], x ∈ (0, 1).

La funzione é u.c. nel primo insieme in quanto ammette un asintoto orizzontale:

lim_{x→−∞} f(x) = 0.

Nel secondo insieme non é u.c. perché é illimitata per x → 0^{+}.

Esercizio 4. Dire quante sono le radici reali del polinomio

P (x) = \frac{x^{n+1}}{n + 1} − 10x + 100, n intero, dispari.

Poiché n + 1 é pari, lim_{x→±∞} P (x) = +∞. Osserviamo che n é sicuramente positivo, visto che é il GRADO del polinomio!! Derivando otteniamo che il punto x = ^{n} \sqrt{10} é un minimo assoluto. Vogliamo provare che il minimo é strettamente positivo, quindi questo basterá per concludere che P (x) non ha radici reali.

P ( ^{n} \sqrt{10}) = \frac{10^{\frac{n+1}{n}}}{n + 1} − 10 · 10^{\frac{1}{n}} + 100 = 100 − \frac{n}{n + 1}10^{\frac{n+1}{n}}.

Osserviamo che \frac{n+1}{n} ≤ 2 quindi −10^{\frac{n+1}{n}} ≥ 100. Applicando questa stima si ottiene

P ( ^{n} \sqrt{10}) ≥ 100 − \frac{n}{n + 1}100 > 0.

Esercizio 5. Siano f e g due funzioni derivabili, enunciare la regola di derivazione della funzione composta f ∘ g. Sia f una fuzione invertibile con inversa derivabile, enunciare la regola della derivata della funzione f^{−1}. Dare la definizione di punto di massimo relativo per una funzione. Dare la definizione di funzione uniformemente continua. Enunciare una condizione necessaria e sufficiente affinché una fuzione continua in un intervallo aperto limitato sia in esso uniformemente continua. Dare una esempio di: una funzione che sia uniformemente continua in (0, 1); una funzione che sia uniformemente continua in [1, +∞); una funzione che non sia uniformemente continua in [1, +∞).

Diamo le risposte solo ad alcuni quesiti (gli altri si possono trovare in qualunque libro di analisi!): Enunciare una condizione necessaria e sufficiente affinché una fuzione continua in un intervallo aperto limitato sia in esso uniformemente continua: una funzione f continua in un intervallo aperto é in esso anche u.c. se e solo se esiste un’estensione continua di f alla chiusura dell’ intervallo. una funzione che sia uniformemente continua in (0, 1): f(x) = sin x una funzione che sia uniformemente continua in [1, +∞): f(x) = sin x una funzione che non sia uniformemente continua in [1, +∞): f(x) = x^{2}.