SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONI

ESERCIZIO 1

(a) lim_{x→0} x^{x} = lim_{x→0} e^{ln x^{x}} = lim_{x→0} e^{x ln x} = 1

(b) Poniamo x = \frac{1}{n}, quindi

lim_{x→0} x ln x = lim_{n→∞} \frac{ln(1) − ln n}{n} = lim_{n→∞} −\frac{ln n}{n} = 0.

(c) Poniamo x = \frac{1}{n}, quindi

lim_{x→0} \frac{ln(1 + x)}{x} = lim_{n→∞} \frac{ln (1 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = lim_{n→∞} n ln (1 + \frac{1}{n}) = lim_{n→∞} ln (1 + \frac{1}{n})^{n} = 1.

(d)

lim_{x→1^{+}} \begin{matrix}ln & (1 + \sqrt{x − 1}) \\ √ & \overline{x^{2} − 1} \end{matrix} = lim_{x→1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} · lim_{x→1^{+}} \begin{matrix}ln & (1 + \sqrt{x − 1}) \\ √ & \overline{x − 1} \end{matrix} =

= \frac{1}{\sqrt{2}} lim_{x→1^{+}} ln (1 + \sqrt{x − 1})^{\frac{1}{\sqrt{x−1}}} = \frac{1}{\sqrt{2}},

abbiamo sfruttato il fatto che lim_{x→1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x−1}} = +∞, quindi il limite notevole lim_{x→∞} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e.

(e) Poniamo e^{x} − 1 = y, quindi x → 0 ⇔ y → 0. Quindi x = ln(y + 1), sostituendo si ha:

lim_{y→0} \frac{y}{ln(y + 1)} = lim_{y→0} \frac{1}{ln(y + 1)^{\frac{1}{y}}} = 1

(f)

lim_{x→0^{+}}(1 + | sin x|)^{\frac{1}{x}} = lim_{x→0^{+}} (1 + \frac{1}{\frac{1}{| sin x|}} )^{\frac{1}{| sin x|} · \frac{| sin x|}{x}} = e^{1} = e.

(g)

lim_{x→∞} xe^{x} sin (e^{−x} sin \frac{2}{x}) = lim_{x→∞} \frac{sin (e^{−x} sin \frac{2}{x})}{e^{−x} sin \frac{2}{x}} · lim_{x→∞} e^{−x} sin \frac{2}{x} · e^{x} · x,

tenendo conto che: e^{−x} sin \frac{2}{x} → 0,

x sin \frac{2}{x} = 2\frac{x}{2} sin \frac{2}{x} = 2\frac{sin \frac{2}{x}}{\frac{2}{x}} , il limite cercato é 2.

(h)

lim_{x→0} \frac{1 − cos 2x}{sin^{2} 3x} = lim_{x→0} \frac{1 − cos 2x}{(2x)^{2}} · lim_{x→0} \frac{4x^{2}}{sin^{2} 3x} =

= \frac{1}{2} · 4 · lim_{x→0} (\frac{3x}{sin 3x})^{2} · \frac{1}{9} = \frac{2}{9}.

(i) Osserviamo innanzitutto che se x → 0, π cos x → π, e che 0 < π cos x < π (sin x = sin(π − x) ∀x ∈ (0, π)). Quindi:

lim_{x→0} \frac{sin(π cos x)}{x sin x} = lim_{x→0} \frac{sin(π − π cos x)}{π − π cos x} · lim_{x→0} π \frac{1 − cos x}{x^{2}} · \frac{x}{sin x} = 1 · \frac{π}{2} · 1 = \frac{π}{2} .

(j) lim_{x→ \frac{π}{2}} tan x(e^{cos x} − 1) = lim_{x→ \frac{π}{2}} \frac{e^{cos x}−1}{cos x} sin x = 1.

ESERCIZIO 2 (a)

lim_{x→0^{−}} \frac{x}{|x|} = lim_{x→0^{−}} \frac{x}{−x} = −1,

lim_{x→0^{+}} \frac{x}{|x|} = lim_{x→0^{+}} \frac{x}{x} = 1.

(b)

lim_{x→4^{−}}[x]{x} = lim_{x→4^{−}} 3{x} = 3,

lim_{x→4^{+}}[x]{x} = lim_{x→4^{+}} 4{x} = 0.

lim_{x→0^{−}} \frac{x cos x}{|x|} = lim_{x→0^{−}} \frac{x cos x}{−x} = −1,

lim_{x→0^{+}} \frac{x cos x}{|x|} = lim_{x→0^{+}} \frac{x cos x}{x} = +1.

lim_{x→0^{−}} |x|^{\frac{1}{x}} = lim_{x→0^{−}} −x^{\frac{1}{x}} = 0,

lim_{x→0^{+}} |x|^{\frac{1}{x}} = lim_{x→0^{+}} x^{\frac{1}{x}} = +∞.