Simulazione del secondo esonero di CAM

(le soluzioni verranno fornite in rete)

Un consiglio: fatelo da soli e senza libri in tre ore, altrimenti che simulazione sarebbe??

Giustificare tutte le affermazioni

Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{2x + log x^{3} + 3}{1 + x^{2} + x log x^{3}} dx; ∫ sin(2x) · cos^{2}(2x)dx

Osserviamo che nel primo integrale il numeratore é la derivata del denominatore, quindi la primitiva é il logaritmo naturale del denominatore:

∫ \frac{2x + log x^{3} + 3}{1 + x^{2} + x log x^{3}} dx = log(1 + x^{2} + x log x^{3}) + C.

Per risolvere il secondo integrale osserviamo che sin(2x) é la derivata di − cos(2x), quindi l’integrando é della forma f^{2} · f′, la cui primitiva é \frac{f^{3}}{3} a meno di segni. In conclusione la primitiva é \frac{− cos^{3}(2x)}{6}.

Esercizio 2. Determinare per quali valori di α ∈ IR il seguente integrale improprio converge

∫_{0}^{1} \frac{(e^{αx} − 1 − x) · sin x · log x}{x log(1 + x^{2})}

L’integrale é improprio in 0. Usiamo lo sviluppo di Taylor e otteniamo la frazione:

\frac{(x^{2}(α − 1) + \frac{α^{2}x^{3}}{2} + o(x^{3})) log x}{x^{3} + o(x^{4})}

(Attenzione: log x vicino a zero non é sviluppabile!!! Diverge!!). Se α = 1 la funzione integranda, approssimata, diventa

\frac{(\frac{x^{3}}{2} + o(x^{3})) log x}{x^{3} + o(x^{4})}.

E’ noto che (limiti notevoli...) o(x) log x → 0, quindi otteniamo due pezzi:

\frac{\frac{x^{3}}{2} log x}{x^{3} + o(x^{4})} + \frac{o(x^{3}) log x}{x^{3} + o(x^{4})}.

Di cui: ^{\frac{\frac{x^{3}}{2} log x}{x^{3}+o(x^{4})}} é asintotico a log x per x → 0 (dividendo le due funzioni si ottiene un numero), e quest’ultima funzione é int. in senso improprio tra 0 e 1. La seconda frazione si riscrive come

\frac{o(x^{2})o(x) log x}{x^{3} + o(x^{4})} → 0

quindi questa parte di funzione non é illimitata in un intorno di zero e pertanto il suo integrale converge. Quindi, in conclusione, per α = 1 l’integrale converge. Per α ≠ 1 invece diverge, infatti: il termine dominante al numeratore é x^{2}(α − 1) log x e si deduce che

\frac{x^{2}(α − 1) log x}{x^{3} + o(x^{4})}

é asintotico a \frac{log x}{x} che non é integrabile in un intorno di zero in quanto é maggiore di \frac{1}{x}.

Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti utilizzando la formula di Taylor:

lim_{x→0} \frac{arcsin x − x}{1 − \sqrt{1 − x^{3}}} ; lim_{x→0} \frac{x^{2} − sin^{2} x}{x^{3}(e^{x} − cos x)}

Primo limite:

lim_{x→0} \frac{x + \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{4}) − x}{\frac{1}{2}x^{3} + o(x^{5})} = \frac{1}{3}.

Secondo limite:

lim_{x→0} \frac{x^{2} − (x^{2} − \frac{1}{3}x^{4} + o(x^{5}))}{x^{3}(1 + x + o(x) − 1 + o(x))} = lim_{x→0} \frac{\frac{1}{3}x^{4} + o(x^{5})}{x^{4} + o(x^{4})} = \frac{1}{3}

Esercizio 4. Sia f : IR → IR una funzione continua. Dimostrare che se lim_{x→+∞} f(x) = a, allora

lim_{x→+∞} ∫_{x}^{x+1} f(t)dt = a.

Suggerimento: usare la definizione di limite di funzione, e sfruttare la monotonia dell’integrale. ∀ε > 0 ∃ x_{0} : |f(x) − a| < ε, ∀ x ≥ x_{0} ovvero

a − ε < f(x) < a − ε ∀ x ≥ x_{0}

il che implica

(a − ε)(x + 1 − x) < ∫_{x}^{x+1} f(t)dt < (a − ε)(x + 1 − x) ∀ x ≥ x_{0}.

La tesi segue osservando che l’ultima relazione non é altro che la definizione di limite per x → +∞ applicata a ∫_{x}^{x+1} f(t)dt.

Esercizio 5. Enunciare uno dei due teoremi di de L’Hopital (con TUTTE le ipotesi!!!). Enunciare il Teorema del confronto per integrali impropri. Dare un esempio di :

(a) funzione integrabile in senso improprio in [1, +∞);

(b) funzione definita in (2, 3), avente un asintoto verticale in x = 2, integrabile in senso improprio in (2, 3);

(c) funzione definita in (1, +∞), avente un asintoto verticale in x = 1, integrabile in senso improprio in (1, +∞) (costruitela!!!). Risposta (c) : f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x−1|}}χ_{(1,2]}(x) + e^{−x}χ_{(2,+∞)}(x), dove χ_{I}(x) é la funzione

caratteristica dell’intervallo I.