SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULL’UNIFORME CONTINUITA’

ESERCIZIO 1

(a) La funzione log x é continua in [1, 2], quindi uniformemente continua. In (0, 2] dobbiamo controllare il limite in zero. lim_{x→0^{+}} log x = −∞. Quindi la funzione non é u.c. in (0, 2]. Infine nel terzo intervallo: in 4 la funzione é ben definita. All’infinito basta osservare che la derivata di log x é \frac{1}{x}, che é minore di 1 per x > 4, quindi per il teorema di Lagrange, otteniamo l’uniforme continuitá.

(b) In −1 e 1 la funzione é ben definita e non c’é bisogno di fare il limite. Invece in zero: lim_{x→0^{−}} arctan \frac{1}{x} = −\frac{π}{2} , lim_{x→0^{+}} arctan \frac{1}{x} = +\frac{π}{2} . C’é una discontinuitá di tipo salto, non eliminabile, quindi non possiamo estendere arctan \frac{1}{x} ad una funzione continua nel compatto [−1, 1]. Nell’insieme (1, +∞) la funzione é u.c. perché in 1 é definita e continua, all’infinito ammette asintoto orizzontale: lim_{x→+∞} arctan \frac{1}{x} = 0.

(c) Basta osservare che la funzione sin x ha derivata limitata su tutto l’asse reale, quindi é u.c.

(d) In (1, 2) la funzione é continua, anche negli estremi é ben definita e limitata, quindi possiamo subito concludere che é u.c.. In [2, +∞) si deve solo controllare il limite a +∞: lim_{x→+∞} \frac{x^{2} sin \frac{1}{x}}{x^{2}+1} = 0, quindi c’é asintoto orizzonatale e la funzione é u.c..

(e) x^{3} non é u.c.. in insiemi illimitati per il Teorema della farfalla: se lo fosse dovrebbe verificare la stima |x^{3}| ≤ Ax + B, per qualche A, B ∈ IR . Se cosí fosse si avrebbe \frac{|x^{3}|}{Ax+B} ≤ 1 (∗), ma lim_{x→+∞} \frac{|x^{3}|}{Ax+B} = +∞, quindi non si puó avere la (∗).

(f) La funzione x^{\frac{1}{3}} é u.c.. in [a, +∞) con a > 0 perché ha derivata limitata, in particolare definitivamente minore di 1.

ESERCIZIO 2 Se f é u.c.. in (a, b] e [b, c), allora esiste un \overline{f} u.c. in [a, b] e [b, c] che estende f. Quindi \overline{f} in b é ben definita e vale esattamente f(b). Ma allora possiamo estendere f ad una f̃ u.c. in [a, b], quindi f é u.c. in tutto l’intervallo.

ESERCIZIO 3

(i) La funzione x^{2} é continua e su tutti i compatti é anche u.c, ma in insiemi illimitati, quali ad esempio [a, +∞) non é u.c.. (ii) La funzione \frac{1}{x} é continua in (0, 1) ma non é u.c. perché é illimitata in zero.