Integrali Impropri e Taylor

Manuela Grella & Simona Giovannetti 24 maggio 2005

Enunciamo ora alcuni concetti fondamentali dell’algebra degli o(x^{m}):

Proprietà 1. 1) o(x^{n}) + o(x^{n}) = o(x^{n}) ∀n.

2) λo(x^{n}) = o(λx^{n}) = o(x^{n}).

3) o(x^{m}) + o(x^{n}) = o(x^{γ}) dove γ = min{m, n}.

4) o(x^{n})o(x^{m}) = o(x^{n+m}).

5) Se m > n si ha che x^{m} = o(x^{n}).

6) \frac{o(x^{m})}{x^{n}} = o(x^{m−n}). (Attenzione: non si possono semplificare espressioni del tipo \frac{o(x^{m})}{o(x^{n})}: se si giunge a questa conclusione non si ha alcuna informazione, per cui o bisogna utilizzare un altro metodo oppure estendere gli sviluppi a potenze maggiori).

7) Se m > 0 allora si ha [o(x^{n})]^{m} = o(x^{n}).

8) o[x^{n} + o(x^{n})] = o(x^{n}).

9) o(x^{n})x^{m} = o(x^{m+n}).

10) o(o(x^{n})) = o(x^{n}).

Soluzione 1. (a) Sappiamo che sin x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}: di questa basta prendere gli elementi fino all’ordine 3 ed elevate il tutto alla terza considerando sempre il fatto che si deve arrivare all’ordine 5:

sin^{3} x = (x − \frac{x^{3}}{3!} )^{3} + ordine superiore... = x^{3} − \frac{x^{5}}{2} + o(x^{5})

(b) Poiché e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} , segue che

(e^{x} − 1)^{2} = (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}))^{2} = x^{2} + x^{3} + \frac{7}{12}x^{4} + \frac{x^{5}}{6} + o(x^{5})

(c) Calcoliamo lo sviluppo di Taylor di f(x) = arctan x sfruttando le derivate, ossia con la definizione:

f(0) = 0, f′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} ⟹ f′(0) = 1, f′′(x) = −2x(1+x^{2})^{−2} ⟹ f′′(0) = 0

f′′′(x) = 4x(1 + x^{2})^{−3} − 2(1 + x^{2})^{−2} ⟹ f′′′(0) = −2,

f^{iv} = −24x^{2}(1 + x^{2})^{−4} + 4(1 + x^{2})^{−3} + 8x(1 + x^{2})^{−3} ⟹ f^{iv}(0) = 4,

f^{v} = 96x^{2}(1+x^{2})^{−5}−48x(1+x^{2})^{−4}−24x(1+x^{2})^{−4}−24x(1+x^{2})^{−3}+8(1+x^{2})^{−3}

⟹ f(0) = −24.

Da ciò considerando la formula di Taylor si ha che:

arctan x = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + o(x^{5})

Soluzione 2. (i)lim_{x→0} \frac{1−cos x+ln cos x}{x^{4}}: Scriviamo gli sviluppi di Taylor col resto di Peano delle funzioni che ci servono:

cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{5}) ln(1 + y) = y − \frac{y^{2}}{2} + o(x^{2})

Poiché abbiamo ln cos x allora dobbiamo porre 1 + y = cos x = −\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{5}). Andando a sostituire gli sviluppi nel limite abbiamo che:

lim_{x→0} \frac{1 − cos x + ln cos x}{x^{4}} = lim_{x→0} \frac{1 − 1 + \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{4}}{24} + o(x^{5}) − \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{12}x^{4} + o(x^{4})}{x^{4}} =

= lim_{x→0} \frac{−\frac{1}{8}x^{4} + o(x^{4})}{x^{4}} = −\frac{1}{8}

(ii) Scriviamo gli sviluppi di Taylor col resto di Peano delle funzioni che ci servono:

cos x^{5} = 1 − \frac{x^{10}}{2} + o(x^{10}) cos \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 − \frac{x^{2}}{6} + \frac{x^{4}}{216} + o(x^{5})

sin x = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + o(x^{6})

Andando a sostituire il tutto nel denominatore otteniamo:

(sin x − x cos \frac{x}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{1}{270^{2}} x^{10} + o(x^{10})

Quindi il limite sarà:

lim_{x→0} \frac{1 − cos x^{5}}{(sin x − x cos \frac{x}{\sqrt{3}})^{2}} = lim_{x→0} \frac{\frac{x^{10}}{2} + o(x^{10})}{\frac{x^{10}}{270^{2}} + o(x^{10})} = \frac{270^{2}}{2} = 36450

(iii) Scriviamo gli sviluppi di Taylor col resto di Peano delle funzioni che ci servono:

sin x^{2} = x^{2} − \frac{x^{6}}{3!} + o(x^{6}), sin^{2} x = x^{2} + \frac{x^{4}}{3} + \frac{2}{45}x^{6} + o(x^{6})

cos x^{2} = 1 − \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{24} + o(x^{6})

Ora lavoriamo sul limite:

lim_{x→0} x^{2} \frac{sin x^{2} − sin^{2} x}{sin x^{2} − tan x^{2}} = lim_{x→0} x^{2} cos x^{2} \frac{sin x^{2} − sin^{2} x}{sin x^{2}(cos x^{2} − 1)}

Sostituendo gli sviluppi di Taylor al denominatore che abbiamo nel limite troviamo che sin x^{2}(cos x^{2} − 1) = −\frac{x^{6}}{2} + o(x^{6}), quindi al numeratore basterà arrivare al grado 6:

x^{2} cos x^{2}(sin x^{2}−sin^{2} x) = x^{2}(1− \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{6}}{24} +o(x^{6}))(x^{2}− \frac{x^{6}}{6} +o(x^{6})−x^{2}+ \frac{x^{4}}{3} −

−\frac{2}{45}x^{6} + o(x^{6})) = \frac{x^{6}}{3} + o(x^{6})

Mettendo il tutto nel limite iniziale si ha:

lim_{x→0} x^{2} \frac{sin x^{2} − sin^{2} x}{sin x^{2} − tan x^{2}} = lim_{x→0} x^{2} cos x^{2} \frac{sin x^{2} − sin^{2} x}{sin x^{2}(cos x^{2} − 1)} =

= lim_{x→0} \frac{\frac{x^{6}}{3} + o(x^{6})}{−\frac{x^{6}}{2} + o(x^{6})} = −\frac{2}{3}

(iv) Scriviamo gli sviluppi di Taylor col resto di Peano delle funzioni che ci servono:

arctan x = x − \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3}) 2^{x} = 1 + (ln 2)x + \frac{(ln 2)^{2}}{2} x^{2} + \frac{(ln 2)^{3}}{3!} x^{3} + o(x^{3})

4^{x} = 2^{2x} = 1 + (2 ln 2)x + \frac{(2 ln 2)^{2}}{2} x^{2} + \frac{(2 ln 2)^{3}}{3!} x^{3} + o(x^{3})

Consideriamo innanzi tutto il denominatore: x−arctan x = x−x+ \frac{x^{3}}{3} +o(x^{3}), per cui quando calcoliamo lo sviluppo di Taylor del numeratore dobbiamo considerare il fatto che ci serve arrivare fino all’ordine 3:

x4^{x} − 2^{x} + 1 = x(1 − ln 2) + (2 ln 2 − \frac{(ln 2)^{2}}{2} )x^{2} + o(x^{2})

da cui si calcola:

x(x4^{x} − 2^{x} + 1)^{2} = (1 − ln 2)^{3}x^{3} + o(x^{3})

Calcoliamo ora il limite:

lim_{x→0} \frac{x(x4^{x} − 2^{x} + 1)^{2}}{x − arctan x} = lim_{x→0} \frac{(1 − ln 2)^{3}x^{3} + o(x^{3})}{\frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})} = 3(1 − ln 2)^{2}

Soluzione 3. (i) La funzione integranda è continua e positiva nell’intervallo (2, ∞), bisogna quindi analizzare la convergenza dell’integrale in un intorno destro di 2 e in un intorno di ∞. Si ha quindi ∫_{2}^{∞} \frac{1}{x\sqrt{x−2}} = ∫_{c}^{∞} \frac{1}{x\sqrt{x−2}} + ∫_{2}^{c} \frac{1}{x\sqrt{x−2}}; con c ∈ (2, ∞). Studiamo la convergenza del primo integrale: consideriamo la funzione di confronto \frac{1}{x} per x → +∞:

lim_{x→+∞} \frac{\frac{1}{x\sqrt{x−2}}}{(\frac{1}{x})^{α}} = lim_{x→+∞} \sqrt{\frac{x^{2(α−1)}}{x − 2}}

Perché questo limite sia finito e diverso da zero si deve avere che 2α − 2 = 1. ossia α = \frac{3}{2}, che è > 1, quindi il primo integrale è convergente in [c, +∞). Analizziamo il secondo integrale: risulta \frac{1}{x\sqrt{x−2}} ≤ \frac{1}{\sqrt{x−2}}: l’integrale di quest’ultima funzione converge, quindi converge anche il secondo integrale e così anche quello di partenza.

(ii)Si possono considerare gli sviluppi di Taylor delle funzioni tgx e ln(1+ \sqrt[3]{x^{2}}),fino al primo ordine cioé tgx = x + o(x^{2}) e ln(1 + \sqrt[3]{x^{2}}) = \sqrt[3]{x^{2}} + o(1): sostituendli nell’integrale otteniamo:

∫_{0}^{e/2} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx

Questo integrale risulta essere convergente, quindi è convergente anche quello di partenza.