Soluzioni Tutorato2

Manuela Grella e Simona Giovannetti

1 marzo 2005

Esercizio 1. (i)f(x) = senx é uniformemente continua su R perché ha derivata limitata su tutto l’asse reale; infatti f′(x) = cos(x) e | cos(x) |≥ 1 ∀x ∈R.

(ii)f(x) = x^{3} non é u.c; infatti se lo fosse per il Lemma della farfalla dovrebbero esistere A, B ∈ R t.c. |x^{3}| ≤ Ax + B, e quindi si avrebbe che \frac{|x^{3}|}{Ax+B} ≤ 1 ∀x; ma lim_{x→+∞} \frac{|x^{3}|}{Ax+B} = +∞, quindi la disuguaglianza non puó valere.

(iii)f(x) = x^{\frac{1}{3}} é u.c. in [a, +∞) con a > 0, perché la sua derivata in questo insieme é limitata (in particolare é minore di 1).

Esercizio 2. (i)f(x) = ln | tan \frac{x}{2}| ha delle discontinuitá di seconda specie nei punti del tipo x = kπ ∀ k ∈ Z, poiché in questi punti la tangente si annulla e lim_{x→0^{+}} ln x = −∞.

(ii)f(x) = ln(cos x) é definita solo dove il coseno é positivo, quindi in tutti gli intervalli del tipo kπ + \frac{π}{2} < x < kπ + \frac{3}{2}π, con k dispari, e in essi la funzione f(x) é continua. Nei punti del tipo x = 2kπ + \frac{π}{2} sono punti di discontinuitá di seconda specie.

(iii)f(x) = e^{\frac{1}{x+1}} é continua su R-\{−1\}. Infatti su x ≠ −1 f(x) é continua perché composizione di funzioni continue, ossia l’esponenziale e \frac{1}{x+1}.

In -1 si ha che lim_{x→−1^{−}} e^{\frac{1}{x+1}} = 0, mentre lim_{x→−1^{+}} e^{\frac{1}{x+1}} = +∞: quindi -1 é un punto di discontinuitá di seconda specie.

(iv)f(x) = e^{\frac{1}{x^{2}}} é continua su R-\{0\}. Infatti su x ≠ 0 f(x) é continua perché composizione di funzioni continue. In 0 si ha che

lim_{x→0^{−}} e^{\frac{1}{x^{2}}} = lim_{x→0^{+}} e^{\frac{1}{x^{2}}} = +∞

quindi 0 é un punto di discontinuitá di seconda specie.

(v)f(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} é continua su R-\{0\}. Infatti su x ≠ 0 f(x) é continua perché composizione di funzioni continue. In 0 si ha che

lim_{x→0^{−}} e^{− \frac{1}{x^{2}}} = lim_{x→0^{+}} e^{− \frac{1}{x^{2}}} = 0

quindi 0 é un punto di discontinuitá eliminabile o di terza spece..