Integrali Impropri

Manuela Grella & Simona Giovannetti

4 maggio 2005

Teorema 1. (criterio del confronto) Siano f(x) e g(x) due funzioni continue e positive in [a, b) e illimitate in b. Se risulta f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b), allora:

1) la convergenza di ∫_{a}^{b} g(x)dx implica la convergenza di ∫_{a}^{b} f(x)dx.

2) la divergenza di ∫_{a}^{b} f(x)dx implica la divergenza di ∫_{a}^{b} g(x)dx.

Teorema 2. Siano f(x) e g(x) due funzioni continue e positive in [a, b), illimitate in b con g(x) ≠ 0 in ogni punto in un certo intorno di b. Se risulta lim_{x→b^{−}} \frac{f(x)}{g(x)} = l > 0, allora i due integrali ∫_{a}^{b} f(x)dx e ∫_{a}^{b} g(x)dx sono entrambi convergenti oppure entrambi divergenti, ossia hanno lo stesso comportamento. Se lim_{x→b^{−}} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 si pó dire solo che se converge l’integrale ∫_{a}^{b} g(x)dx al-

lora converge anche l’integrale ∫_{a}^{b} f(x)dx, e se diverge l’integrale ∫_{a}^{b} f(x)dx allora diverge anche l’integrale ∫_{a}^{b} g(x)dx.

Naturalmente questi teoremi si possono estendere al caso in cui la funzione è illimitata in a. Questi criteri consentono di avere delle informazioni sul comportamento di un integrale improprio dal confronto con altri integrali il cui andamento è noto. Le funzioni pi utilizzate per il confronto sono:

1) g(x) = \frac{1}{(b−x)^{α}} se f(x) è illimitata in b;

2) g(x) = \frac{1}{(x−a)^{α}} se f(x) è illimitata in a.

Gli integrali di queste funzioni sono convergenti per 0 < α < 1 e divergenti per α ≥ 1.

Teorema 3. (criterio del confronto) Siano f(x) e g(x) due funzioni continue e positive in [a, +∞) e infinitesime per x → +∞. Se per x ≥ b, con b ≥ a risulta f(x) ≤ g(x), allora:

1) la convergenza di ∫_{a}^{+∞} g(x)dx implica la convergenza di ∫_{a}^{+∞} f(x)dx.

2) la divergenza di ∫_{a}^{+∞} f(x)dx implica la divergenza di ∫_{a}^{+∞} g(x)dx.

Analogamente si enuncia il teorema per intervalli del tipo (−∞, b].

Nella paratica è utile fissare come funzioni di riferimento le funzioni già note:

1) g(x) = \frac{1}{x^{α}} se f(x) è definita in un intervallo del tipo [a, +∞), con a > 0.

2) g(x) = \frac{1}{|x|^{α}} se f(x) è definita in un intervallo del tipo (−∞, b], con b < 0.

Gli integrali di queste funzioni sono convergenti per α > 1 e divergenti per 0 < α ≤ 1.

Soluzione 1. (i) Si tratta di una funzione del tipo f(x) = \frac{1}{x^{α}} con α = \frac{1}{2},questa integrata tra 0e1 dá luogo ad un integrale convergente che si puó calcolare; infatti lim_{c→0^{+}} ∫_{c}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} = 2

(ii) Osserviamo che per x ∈ [0, 4] \frac{x}{x^{2}−1} > \frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x},ma l’integrale della funzione \frac{1}{x} in tale intervallo é divergente,quindi diverge anche l’integrale di partenza per il teorema del confronto.

(iii) Proviamo a calcolare lim_{c→1^{−}} ∫_{c}^{e^{−2}} _{\frac{1}{x\sqrt{ln( \frac{1}{x})}}}dx; effettuando la sostituzione

\frac{1}{x} = t,otteniamo lim_{c→1^{−}}(−2\sqrt{ln(\frac{1}{x})} + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2},poiché abbiamo ottenuto un limite finito l’integrale dato é convergente.

(iv) La funzione integranda è positiva e illimitata in x = 4. Preso un punto c con 0 < c < 4, si calcola l’integrale definito I_{c} = ∫_{0}^{c} \frac{dx}{\sqrt{16−x^{2}}} . Questo integrale si risolve ponendo x = \sqrt{16} sin t, dalla quale si ricava che x = 4 sin t, t = arcsin \frac{x}{4} e dx = 4 cos tdt; inoltre osservando che per x = 0 si ha t = 0 e che per x = c si ha t = arcsin \frac{c}{4}

(v) Si risolve l’integrale con la sostituzione t = ln x dalla quale si ottiene che dt = \frac{1}{x}dx e per x = e^{4} t = 4 e per x → +∞ ln(+∞) = +∞ = t, quindi l’integrale diventa:

∫_{4}^{+∞} \frac{1}{t^{2} − 5t + 6}dt

La funzione integranda è positiva e continua in [4, +∞) ed è infinitesima per t → +∞, essendo lim_{x→+∞} \frac{1}{t^{2}−5t+6} = 0; quindi posto un punto b > 4, si calcola l’integrale ∫_{4}^{b} \frac{1}{t^{2}−5t+6}dt e in seguito il limite per b → +∞.

Svolgendo i conti si ha che:

∫_{4}^{+∞} \frac{1}{t^{2} − 5t + 6}dt = [− ln |t − 2| + ln |t − 3|]_{4}^{b} = ln |\frac{b − 3}{b − 2}| − ln |\frac{4 − 3}{4 − 2}| =

= ln |\frac{b − 3}{b − 2}| − ln \frac{1}{2}

Si ha pertanto:

lim_{b→+∞} ∫_{4}^{+∞} \frac{1}{t^{2} − 5t + 6}dt = ln 1 − ln \frac{1}{2} = ln 2

La funzione integranda è quindi integrabile in senso generalizzato in [4, +∞) ossia l’integrale generalizzato è convergente in [e^{4}, +∞).

Soluzione 2. (i) La funzione integranda f(x) = \begin{matrix}^{3} & \sqrt{x} \\ √ & \overline{x^{5}+x^{3}} \end{matrix} è positiva e continua in (0, 1] ed è illimitata in x = 0. Inoltre si ha che:

\begin{matrix}^{3} & \sqrt{x} \\ √ & \overline{x^{5} + x^{3}} \end{matrix} = \frac{1}{x^{\frac{7}{6}} \sqrt{x^{2} + 1}}

Sostituendo all’interno della radice nell’ultimo membro il massimo valore assunto da x nell’intervallo (0, 1], ossia 1, si ottiene _{\frac{1}{x^{\frac{7}{6}} \sqrt{x^{2}+1}}} ≥ _{\frac{1}{\sqrt{2}x^{\frac{7}{6}}}} .

Essendo quindi f(x) = \begin{matrix}^{3} & \sqrt{x} \\ √ & \overline{x^{5}+x^{3}} \end{matrix} ≥ _{\frac{1}{\sqrt{2}x^{\frac{7}{6}}}} = g(x) e poiché l’integrale ∫_{0}^{1} _{\frac{1}{\sqrt{2}x^{\frac{7}{6}}}} dx

diverge in (0, 1] (essendo g(x) del tipo \frac{1}{x^{α}} con α = \frac{7}{6} > 1), per il teorema del confronto si ha che l’integrale dato diverge.

(ii) La funzione integranda è continua in [3, +∞); si esegue la maggiorazione:

\frac{| sin x|}{|\sqrt{x^{5} − 4x^{3}}|} ≤ \frac{1}{\sqrt{x^{3}(x^{2} − 4)}} = \frac{1}{x^{3/2}\sqrt{x^{2} − 4}} ≤ \frac{1}{x^{3/2}}

Per il criterio del confronto, poichè l’integrale ∫_{3}^{+∞} \frac{1}{x^{3/2}} dx è convergente nell’intervallo dato, allora anche l’integrale ∫_{3}^{+∞} \frac{| sin x|}{\sqrt{x^{5}−4x^{3}}} dx è convergente, e quindi lo è anche l’integrale improprio iniziale.

(iii) La funzione integranda è positiva e continua in [0, +∞); si ha la maggiorazione:

\frac{e^{x}}{e^{2x} + x} ≤ \frac{e^{x}}{e^{2x}} = \frac{1}{e^{x}} ∀x ∈ [0, +∞)

Si determina ora se l’integrale generalizzato l_{1} = ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{e^{x}} dx è convergente o meno. Si ha:

lim_{b→+∞} ∫_{0}^{+∞} e^{−x}dx = lim_{b→+∞}[−e^{−x}]_{0}^{b} = lim_{b→+∞}[−e^{−b} − (−e^{0})] = 1

Poiché l’integrale è convergente in [0, +∞) per il criterio del confronto anche l’integrale dato converge in [0, +∞).