Simulazione di esonero di CAM

(le soluzioni verranno fornite e spiegate durante l’esercitazione del 5 aprile p.v.)

Giustificare tutte le affermazioni

Esercizio 1. Data la funzione:

f(x) = arctan \sqrt{\frac{x − 1}{x − 2}}

Determinarne: insieme di esistenza, limiti ed eventuali asintoti, massimi e minimi relativi, e tracciarne un grafico approssimativo.

Insieme di esistenza: (−∞, 1] ∪ (2, +∞). Limiti: lim_{x→±∞} f(x) = \frac{π}{4} , lim_{x→2^{+}} f(x) = \frac{π}{2} . Derivata:

f′(x) = −\frac{1}{(x − 2)(2x − 3)2\sqrt{\frac{x−1}{x−2}}}

la derivata é positiva per x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞).

Esercizio 2. Dire se le seguenti funzioni sono uniformemente continue nei domini indicati:

f(x) = sin x^{2} x ∈ [π, 2π], x ∈ [π, +∞)(difficile...)

g(x) = (1 + \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x})^{cot ^{\frac{1}{x}}} , x ∈ [5, +∞)

La funzione f(x) ’ continua, quindi u.c. nel compatto [π, 2π]. Nel secondo insieme, che invece non é compatto, f non é u.c. e si dimostra a partire dalla definizione. Si deve dimostrare che:

∃ε > 0 : ∀δ > 0 tale che scelti x_{δ}, y_{δ} : |x_{δ} − y_{δ}| < δ, |f(x_{δ}) − f(y_{δ})| > ε.

Ovvero, troviamo due punti la cui distanza tenda a zero ma tali che la distanza delle immagini rimanga maggiore di un numero positivo. Sia δ = \frac{1}{n}, x_{δ} = x_{n} = \sqrt{2πn}, y_{δ} = y_{n} = \sqrt{\frac{π}{2} + 2πn}. Si ha immediatamente che

|f(x_{n}) − f(y_{n})| = 1

quindi sceglieremo ε = 1. E del resto

|x_{n} − y_{n}| → 0,

dove per fare l’ultimo limite si deve razionalizzare la quantitá \sqrt{\frac{π}{2} + 2πn}−\sqrt{2πn} per rimuovere la forma indeterminata. Infine la funzione g(x) é u.c. perché il limite per x → +∞ esiste ed é finito.

Esercizio 3. Un triangolo rettangolo di ipotenusa data viene fatto ruotare attorno a uno dei due cateti per generare un cono circolare retto. Si trovi il cono di volume massimo. (Volume cono V = \frac{1}{3}πr^{2}h).

Sia a l’ipotenusa , x un cateto, \sqrt{a^{2} − x^{2}} l’altro cateto (coincidente con il raggio della circonferenza di base).

V (x) = \frac{1}{3}π(a^{2} − x^{2})x, V′(x) = \frac{1}{3}πa^{2} − πx^{2}.

La funzione ha un minimo per x = \frac{a}{\sqrt{3}}.

Esercizio 4. Sia f continua e derivabile due volte in (a, b), con derivata prima continua. Supponiamo che esista un punto c ∈ (a, b) tale che f(a) = f(b) = f(c). Dimostrare che esiste y ∈ (a, b) tale che f′′(y) = 0.

Applichiamo il teorema di Rolle agli intervalli (a, b), (b, c) e deduciamo che esistono due punti x_{1} ∈ (a, b), x_{2} ∈ (b, c) tali che f′(x_{0}) = 0 = f′(x_{1}). Quindi applichiamo di nuovo il teorema di Rolle alla derivata di f nell’intervallo (x_{0}, x_{1}), siamo nelle ipotesi del teorema, infatti f′ ha lo stesso valore agli estremi dell’intervallo. Otteniamo che esiste un punto x_{3} ∈ (x_{0}, x_{1}) tale che f′′(x_{3}) = 0.

Esercizio 5. Dare le seguenti definizioni: funzione uniformemente continua, funzione di classe C^{k}, funzione derivabile. Enunciare il Teorema di Rolle.