Integrali Impropri II

Manuela Grella & Simona Giovannetti 10 maggio 2005

Esercizio 1. Studiare il comportamento dei seguenti integrali generalizzati: (i)I = ∫_{0}^{1} \frac{e^{x}}{x} dx; (ii)I = ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{\sqrt{1−x}}dx; (iii)I = ∫_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt[3]{(x−2)^{2}}} dx;

(iv)I = ∫0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1−x}}dx;

(v)I = ∫_{2}^{+∞} \frac{1}{x ln x}dx; (vi)I = ∫_{2}^{+∞} \frac{1}{x ln^{2} x}dx.

Esercizio 2. Applicando la definizione studiare i seguenti integrali: (i)I = ∫_{0}^{+∞} sin x dx. (ii)I = ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x}{1+x^{4}} dx;

Esercizio 3. Verificare che l’integrale improprio I = ∫_{−∞}^{0} x sin x^{2}e^{−x^{2}}dx è convergente e calcolarne il valore. Esercizio 4. Calcolare i seguenti limiti con la regola di de L‘Hopital:

(i) lim_{x→0} \frac{lnx}{ctgx} (ii)lim_{x→0}(\frac{1}{sen^{2}x} − \frac{1}{x^{2}} ) (iii)lim_{x→1}(\frac{x^{3}−2x^{2}−x+2}{x^{3}−7x+6} (iv)lim_{x→0}(cos2x)^{\frac{3}{x^{2}}}