Integrali Impropri e Taylor

Manuela Grella & Simona Giovannetti 17 maggio 2005

Esercizio 1. Effettuare lo sviluppo di Taylor delle seguenti funzioni in un intorno di x_{0} = 0 fino al quinto ordine:

(a) sen^{3}(x);

(b) (e^{x} − 1)^{2};

(c) arctgx.

Esercizio 2. Risolvere i seguenti limiti con la formula di Taylor: (i) lim_{x→0} \frac{1−cos x+ln cos x}{x^{4}} (ii) lim_{x→0} \frac{1−cos x^{5}}{(sin x−x cos \frac{x}{\sqrt{3}} )^{2}} (iii) lim_{x→0} x^{2} \frac{senx^{2}−sen^{2}(x)}{senx^{2}−tgx^{2}} (iv) lim_{x→0} x\frac{x4^{x}−2^{x}+1^{2}}{x−arctgx}.

Esercizio 3. Stabilire la convergenza dei seguenti integrali:

(i)∫_{2}^{∞} \frac{1}{x\sqrt{x−2}}dx;

(ii)∫_{0}^{e/2} ^{\frac{ln(1+ \sqrt[3]{x^{2}})}{tgx}}dx. (sugg.:usare gli sviluppi di Taylor).