Integrali Impropri e Taylor II

Manuela Grella & Simona Giovannetti 24 maggio 2005

Esercizio 1. Risolvere i seguenti limiti con la formula di Taylor: (i) lim_{x→0}(1 + x^{3})^{\frac{1}{x^{2} sin(2x)}} (ii) lim_{x→0} \frac{x−sin^{2} \sqrt{x}−sin^{2} x}{x^{2}} (iii) lim_{x→0} \frac{e^{x^{2}}−1−ln(1+x arctan x)}{\sqrt{1+2x^{4}}−1} (iv) lim_{x→0} (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{x}}

(v) lim_{x→0} \frac{x^{3}(e^{x}−cos x)}{x^{2}−sin^{2} x}

Esercizio 2. (i) Calcolare cos 18^{∘} con un errore inferiore a 0.001.

(ii) Calcolare \sqrt[3]{7} a meno di 0.01 con l’aiuto dello sviluppo della funzione \sqrt[3]{8 + x}.

Esercizio 3. Stabilire la convergenza dei seguenti integrali: (i)∫_{0}^{2} (\frac{cos(3x)−3 cos x+3e^{x^{2}+x^{3}}−1}{x^{5}+3x^{6}})^{\frac{1}{5}} dx

(ii)∫_{2}^{+∞} (\frac{1}{x^{2}} − sin \frac{1}{x^{2}} ) dx