Rolle,Lagrange e Studio di Funzione

Manuela Grella e Simona Giovannetti 14 marzo 2005

Esercizio 1. Si dimostri la seguente generalizzazione del Teorema di Rolle: sia f : [a, +∞) → R una funzione derivabile tale che

lim_{x→+∞} f(x) = f(a).

Allora esiste un punto ξ ∈ (a, +∞) tale che f′(ξ) = 0. Esercizio 2. Dimostrare le seguenti disuguaglianze:

(i)e^{x} ≥ 1 + x;

(ii)\frac{x^{2}+1}{8} ≥ \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}} ;

(iii)\frac{x+1}{\sqrt{x}} ≥ 2.

Esercizio 3. Disegnare il grafico della seguente funzione dopo aver semplificato l’espressione in base alle proprietà dei logaritmi e del valore assoluto:

f(x) = x + ln |x| − ln |x^{3} − x|

Esercizio 4. Trovare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni: (i)f(x) = x^{3} − 3x^{2} + 1; (ii)f(x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} .

Esercizi per casa

Esercizio 5. Trovare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni: (i)f(x) = ln(\sqrt{x} − x).

Esercizio 6. Trovare massimi e minimi relativi ed assoluti delle seguenti funzioni:

(i)f(x) = x + x^{2/3}; (ii)f(x) = x ln^{2} x; (iii)f(x) = ln(sin x); (iv)f(x) = |x + 3|.

Esercizio 7. Studiare la seguente funzione:

f(x) = \frac{x^{2} − 3}{x − 2}