Rolle, Lagrange e Studi di Funzioni II

Manuela Grella & Simona Giovannetti 23 marzo 2005

Esercizio 1. Dimostrare le seguenti disuguaglianze:

(i) \frac{1}{x+1} < ln(1 + \frac{1}{x}) < \frac{1}{x} ∀x > 0.

(ii) x + sin x ≤ 2(e^{x} − 1) ∀ x ≥ 0.

(iii) tan x ≥ x + \frac{x^{3}}{3} ∀ x ∈ [0, \frac{π}{2} ].

Esercizio 2. Siano f(x) e g(x) due funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b). Supponiamo che f(a) ≥ g(a) e che f′(x) ≥ g′(x) ∀ x ∈ (a, b). Dimostrare che f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] Esercizio 3. Studiare le seguenti funzioni:

(i)f(x) = |x^{3} − 1|;

(ii)f(x) = \sqrt{\frac{x^{2}(x−1)}{x+1}}