Integrali

Manuela Grella & Simona Giovannetti 19 aprile 2005

Esercizio 1. Risolvere i seguenti integrali:

(i) ∫ x^{α}dx (ii) ∫ \frac{1}{x}dx (iii) ∫ sin xdx (iv) ∫ \frac{1}{cos^{2} x}dx (v) ∫ \frac{1}{sin^{2} x cos^{2} x}dx (vi) ∫ \frac{1}{sin^{2} x}dx (vii) ∫ 2e^{x}−5 cos xdx (viii) ∫ a^{x}dx

(ix) ∫ \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx (x) ∫ \frac{1}{1 + x^{2}} dx (xi) ∫ (x^{3}−4x^{2}+\frac{3}{5}x+2)dx (xii) ∫ \frac{x^{5} + 1}{x + 1}dx

(xiii) ∫ \frac{3x + 1}{x^{3} − 4x}dx (xiv) ∫ \frac{x^{5} − 6x^{3} + 2x^{2} + 5}{x^{3} + 3x^{2} − x − 3}dx (xv) ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} + 1)^{2}}

Esercizio 2. Risolvere i seguenti integrali per sostituzione:

(i) ∫ \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}dx (ii) ∫ \sqrt{2^{x} − 1}dx (iii) ∫ \frac{sin x}{1 + cos^{2} x}dx
(iv) ∫ \frac{1}{1 + e^{x}} dx (iv) ∫ \frac{1}{x\sqrt{x + 4}}dx (v) ∫ \frac{tan x}{1 + sin^{2} x}dx
(vi) ∫ \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} dx (vii) ∫ \frac{1}{\sqrt{−x^{2} − 2x + 3}}dx

Esercizio 3. Risolvere i seguenti integrali per parti:

(i) ∫ x sin xdx (ii) ∫ \sqrt{1 − x^{2}}dx (iii) ∫ \frac{sin x}{e^{x}}dx

(iv) ∫ \frac{x}{cos^{2} x}dx (v) ∫ arcsin^{2} xdx (vi) ∫ \sqrt{x^{2} + 4}dx (vii) ∫ e^{x} sin xdx (viii) ∫ e^{x} sin^{3} xdx (ix) ∫ ln xdx (x) ∫ sin^{3} x dx