Integrali II

Manuela Grella & Simona Giovannetti 26 aprile 2005

Esercizio 1. Risolvere i seguenti integrali:

(i) ∫ \frac{3x + 1}{x^{3} − 4x}dx (ii) ∫ \frac{x^{5} − 6x^{3} + 2x^{2} + 5}{x^{3} + 3x^{2} − x − 3}dx (iii) ∫ \frac{dx}{x^{3}(x^{2} + 1)^{2}}

(iv) ∫ \frac{cot x}{sin^{α} x}dx (v) ∫ \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{x} − 1}}dx (vi) ∫ \frac{\sqrt{x}}{1 + x\sqrt{x}}dx (vii) ∫ \frac{cos ln x^{n}}{x} dx

(viii) ∫ \frac{1}{e^{x} + e^{−x}} dx (ix) ∫ e^{−x^{2}+ln x}dx (x) ∫ \frac{dx}{sin x cos x}

Esercizio 2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni integrali: (i)F (x) = ∫_{2x}^{3x} cos^{2} t dt (ii)F (x) = ∫_{0}^{√\overline{x}} e^{t^{2}} dt

Esercizio 3. Considerare per x > 0 la funzione:

F (x) = ∫_{2}^{x}(1 − \frac{sin^{2} t}{t^{2}}) dt

Studiare:

(i) la monotonia;

(ii) stabilire se ha punti di flesso in (0, π).