11. ESERCIZI SULL’ UNIFORME CONTINUITA’

Criteri e Teoremi: · Se f é Lipschitziana in A, allora f é uniformemente continua (u.c.) in A; · Se f é derivabile in A, ed ha derivata limitata, allora f é uniformemente continua (u.c.) in A; · Sia f: (a, b) → IR continua in (a, b). Se

lim_{x→a^{+}} f(x) = l^{+} ∈ IR, lim_{x→b^{−}} f(x) = l^{−} ∈ IR,

possiamo estendere f ad una funzione \overline{f} u.c. in [a, b], quindi f risulterá essere u.c. in (a, b). Precisamente:

\overline{f} = \{ \begin{matrix}f(x) x ∈ (a, b) \\ l^{+} x = a \\ l^{−} x = b \end{matrix}

· Viceversa se f é continua in (a, b) ma uno dei due limiti lim_{x→a^{+}} f(x), lim_{x→b^{−}} f(x) non esiste oppure é uguale a ±∞, la f non é u.c. in (a, b).

Teorema della farfalla: Sia f[a, +∞) → IR u.c.. Allora esistono A, B ∈ IR: |f(x)| ≤ Ax + B. (∗) Questo teorema ci dá un’ informazione in negativo, infatti possiamo usarlo per provare che una data funzione non é u.c.., dimostrando che (∗) non vale.

Teorema dell’ asintoto: Sia f: [a, +∞) → IR continua. Se lim_{x→+∞} f(x) = l ∈ IR, allora f é u.c. in [a, +∞). (Si ha l’ analogo per una funzione definita in (−∞, b], (−∞, +∞).) Osservazione Il viceversa non é vero! Esistono funzioni u.c. che non hanno asintoto orizzontale.

ESERCIZIO 1 Stabilire se le seguenti funzioni sono (u.c.) nei domini indicati:

(a) f(x) = log x in [1, 2]; (0, 2]; (4, +∞).

(b) f(x) = arctan \frac{1}{x} in (−1, 0) ∪ (0, 1); (1, +∞).

(c) f(x) = sin x in IR .

(d) f(x) = \frac{x^{2} sin \frac{1}{x}}{x^{2}+1} in (1, 2), [2, +∞).

(e) f(x) = x^{3} in [a, +∞).

(f) f(x) = x^{\frac{1}{3}} in [a, +∞).

ESERCIZIO 2

Provare che, se f é u.c. in (a, b] e [b, c), allora lo é anche in (a, c).

ESERCIZIO 3

Mostrare con esempi che il Teorema dell’uniforme continuitá non vale in un insieme

(i) illimitato, (ii) non chiuso.