ISTITUZIONI di MATEMATICA – 2

PROGRAMMA D’ ESAME A.A. 2001-2002

ANCORA VALIDO

 PER TUTTI GLI STUDENTI DELLA LAUREA QUINQUENNALE 

(corso di 120 ore frontali=8 CFU)

A.A. 2001-2002 ; docenti: Laura Tedeschini Lalli, Federico Incitti

Dispense in rete (geometrie localmente euclidee)

1. Introduzione alle geometrie non-euclidee.

La sfera. La distanza sulla sfera, caratterizzazione delle “geodesiche”, o “rette”.

Osservazioni locali e globali sulla sfera:

-figure piane sulla sfera e loro proprietà.

-differenze, osservabili localmente, tra geometria della sfera ed suclidea: relazione tra raggio e circonferenza, angoli interni di figure regolari (controesempio di Saccheri).

-differenze globali: possibili mutue posizioni delle “rette”.

            Geometrie localmente euclidee su superfici bidimensionali:

Il cilindro, ilnastro di Mobius, il cilindro avvitato, il toro T². Per ciascuna geometria:

-costruzione per identificazione dei bordi di una porzione di piano;

-costruzione come spazio quoziente di una relazione di equivalenza nel piano, e relativa “tassellazione” del piano;

-rappresentazione come superficie immersa nello spazio tridimensionale (l’ oggetto).

-la nozione di “distanza”, le geodesiche, o “rette”, nelle tre rappresentazioni di ciascuna geometria. Mutua posizione delle “rette” nelle varie geometrie: rette parallele e intersezioni di rette nelle varie geometrie. Compatibilità delle osservazioni locali su ciascuna geometria con quelle sul piano euclideo: le geometrie sono “localmente euclidee”. Coordinate intrinseche ad una superficie.

Per il toro: densità delle rette a pendenza irrazionale.

2. Algebra astratta e geometria nel piano.

Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, spazio quoziente.

Insiemi numerici, astrazione delle loro proprietà: i gruppi.

Gruppi di simmetrie, gurppi di simmetria del quadrato e del triangolo equilatero.

Isometrie: traslazioni , riflessioni e glissoriflessioni; disegni invarianti per una trasformazione. Dominio fondamentale di un gruppo di simmetrie.

I 7 gruppi di simmetria di una striscia (motivi “a festone”, o “fregi”). Gruppi cristallografici nel piano.

3. Altre rappresentazioni del piano cartesiano

Coordinate polari: sistema di coordinate polari; grafici di equazioni in coordinate polari (cardioide, spirali, lemniscata e rosette), area di regioni limitate da curve polari. Cambiamenti di coordinate.

Costruzione geometrica dei numeri complessi C, come piano di numeri dotato di somma e prodotto. Rappresentazione in coordinate polari e cartesiane, formule di De Moivre.

4. Analisi in più dimensioni

            4a. prerequisiti. Geometria nello spazio: sistemi di coordinate nello spazio, tracciare superfici, rette, piani; superfici quadriche e loro rappresentazione grafica. Vettori: vettori nel piano, vettori nello spazio, prodotto vettoriale. Piani e rette nello spazio, ortogonalità e parallelismo.

            4b. Curve parametriche: funzioni vettoriali, equazioni parametriche; inclinazione, concavità, lunghezza d’ arco e cambiamenti di parametro. Versori tangente e normale, curvatura. Curve nello spazio.

            4c. Calcolo differenziale di funzioni di più variabili: funzioni di più variabili, limiti e continuità, derivate parziali, approssimazione lineare e differenziabilità; derivazione a catena, derivate direzionali e vettore gradiente; rette normali e piani tangenti ad una superficie. Massimi e minimi in una regione.

            4d. Integrali multipli: regioni nel piano e nello spazio; integrali doppi in coordinate cartesiane, integrali doppi in coordinate polari. Integrali tripli. Trasformazioni di coordinate, cambiamenti di variabili in integrali multipli.

            4e. Calcolo differenziale su vettori: integrali di linea, teorema di Green per domini semplicemente connessi.

BIBLIOGRAFIA

I contenuti ai punti 3 e 4 del programma possono essere studiati su qualunque testo (di livello universitario). In particolare, si trovano su: Thomas-Finney Analisi Matematica, Zanichelli.

E.A. Abbott Flatland: a Romance of Many Dimensions, Princeton University Science Library 1991 (Dover 1953); trad. italiana: Flatlandia, Adelphi 1996

T. Banchoff Oltre la terza dimensione Zanichelli 1993

Courant, Robbins Che cos’ é la matematica? Boringhieri

L.A. Lyusternik The Shortest Lines  Little Mathematics Library MIR Publishers Moscow 1983

A. Kostovskii Geometrical Constructions with compasses only Little Maths Library MIR Publishers Moscow, 1982

R. Osserman Poesia dell’ universo: l’ esplorazione matematica del cosmo Longanesi 1995

B. Riemann Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria Boringhieri 1994