Esercizi sui massimi e minimi di funzioni in piú variabili.

Ricordiamo che per cercare i massimi e minimi relativi di una funzione di due variabili (che sará sempre di classe C^{2}) f(x, y) si procede nel seguente modo:

∗) Si cercano in punti (x_{0}, y_{0}) tali che f_{x}(x_{0}, y_{0}) = 0 = f_{y}(x_{0}, y_{0}), dove f_{x}, f_{y} rappresentano le derivate parziali della funzione f(x, y) rispetto alle variabili x, y.

∗) Si calcola il determinante Hessiano H(x, y), ovvero:

| \begin{matrix}f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{yx}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{matrix} | = f_{xx}f_{yy} − (f_{xy})^{2}

Se risulta

\{ \begin{matrix}f_{x}(x_{0}, y_{0}) = 0 = f_{y}(x_{0}, y_{0}) \\ H(x_{0}, y_{0}) > 0, f_{xx}(x_{0}, y_{0}) > 0, \end{matrix}

allora (x_{0}, y_{0}) é un punto di minimo relativo per f(x, y). Se

\{ \begin{matrix}f_{x}(x_{0}, y_{0}) = 0 = f_{y}(x_{0}, y_{0}) \\ H(x_{0}, y_{0}) > 0, f_{xx}(x_{0}, y_{0}) < 0, \end{matrix}

allora (x_{0}, y_{0}) é un punto di massimo relativo per f(x, y).

Se, infine, H(x_{0}, y_{0}) < 0, il punto (x_{0}, y_{0}) non é né di massimo né di minimo per la funzione e viene chiamato punto di sella. Se H(x_{0}, y_{0}) = 0 si deve procedere in altro modo.

Esercizio 1. Determinare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni:

(a) f(x, y) = x^{3} + y^{3} + xy

Svolgimento: f_{x} = 3x^{2} + y, f_{y} = 3y^{2} + x, mettendo a sistema otteniamo che : f_{x} = 0 = f_{y} se e solo se x = 0, y = 0 e x = −\frac{1}{3}, y = −\frac{1}{3}. Il determinante Hessiano vale H(x, y) = 36xy − 1. Calcoliamo il determinante Hessiano sui punti trovati : H(0, 0) = −1, H(−\frac{1}{3}, −\frac{1}{3}) = 3, f_{x}x(−\frac{1}{3}, −\frac{1}{3}) = −2, quindi deduciamo che (0, 0) é un punto di sella, quindi né di massimo né di minimo, mentre il punto (−\frac{1}{3}, −\frac{1}{3}) é di massimo relativo.

(b) f(x, y) = x^{3} − y^{3} + xy [R. (0, 0) punto di sella, (\frac{1}{3}, −\frac{1}{3}) minimo relativo] .

(c) f(x, y) = x^{3} + y^{3} − xy [R. (0, 0) punto di sella, (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) minimo relativo] .

(d) f(x, y) = x^{3} − y^{3} − xy [R.(0, 0) punto di sella, (−\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) massimo relativo] .

(e) f(x, y) = 4x^{4} − 16x^{2}y + x [R. (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) punto di sella] .

(f) f(x, y) = 2(x^{2} + y^{2} + 1) − (x^{4} + y^{4}) [R.(0, 0)minimo relativo, (0, ±1) e (±1, 0), punti di sella, (1, ±1), e (−1, ±1)massimi relativi] .

(g) f(x, y) = 2(x^{4} + y^{4} + 1) − (x + y)^{2} [R.(0, 0)Hessiano nullo!, (\begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{2} \end{matrix}, \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{2} \end{matrix}) e (−\begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{2} \end{matrix}, −\begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{2} \end{matrix}) minimi relativi] .