Facoltà di Architettura Istituzioni di Matematiche 2 I prova in corso d’anno - 30 Aprile 2005 Prof. Laura Tedeschini Lalli, Francesca Nardi, Paola Magrone.

NOME:

COGNOME:

MATRICOLA:

Svolgere i seguenti esercizi, utilizzando il retro dei fogli per i conti. Non usare altri fogli. Riportare le risposte negli spazi.

1. Verificare che le due rette

r \{ \begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = 1 \end{matrix} s \{ \begin{matrix}x = 2 \\ y = 2 \\ z = 2 + t \end{matrix}

sono sghembe.

Se credete tracciare schematicamente due visuali della situazione nello spazio tridimensionale x, y, z (per favore, ricordate di mettere qualche riferimento alle coordinate!).

2. Data la matrice

( \begin{matrix}1 & 3 & 1 \\ 0 & −3 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )

(i) Stabilire se ammette inversa e perché.

(ii) Risolvere, usando a scelta il metodi di Cramer o il metodo dell’inversa, i seguenti sistemi:

A\underline{x} = B_{1}, A\underline{x} = B_{2} dove

B_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , B_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

3. Un piano α passa per il punto P_{1}(1, 0, 1) lungo i vettori \underline{v}(0, 2, 1), \underline{w}(1, 2, 0).

(i) Scrivere l’equazione del piano α; (ii) Scrivere l’equazione della retta r perpendicolare ad α e passante per

P_{0}(1, 1, 0). (iii) Determinare il punto di intersezione tra r ed α. (iv) Determinare la distanza tra P_{0} ed α. (Suggerimento: usare il punto appena calcolato.)

4. Data la funzione r(θ) = −\frac{θ}{2},

(i) Dire se è periodica, ed eventualmente indicarne il periodo,

(ii) riempire la seguente tabella:

θ 0 \frac{π}{4}  \frac{π}{2}  \frac{3π}{4} π \frac{5π}{4}  \frac{3π}{2}  \frac{7π}{4} 2π \frac{5π}{2} 3π \frac{7π}{2} 4π

r

(iii) Tracciare schematicamente il grafico di r(θ)

5. Determinare la matrice A che applicata al piano ottiene la seguente trasformazione: