Facoltà di Architettura Istituzioni di Matematiche 2 II prova in corso d’anno - 10 Maggio 2005 Prof. Laura Tedeschini Lalli, Francesca Nardi, Paola Magrone.

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Svolgere i seguenti esercizi, utilizzando il retro dei fogli per i conti. Non usare altri fogli. Riportare le risposte negli spazi.

1. Dato il dominio:

a) descrivere D come dominio verticalmente semplice (cioé normale rispetto ad x)

≤ x ≤ ≤ y ≤

b) usare la precedente descrizione per impostare l’integrale: data f(x, y) = x^{2}y

∫ ∫_{D} f(x, y)dx dy

c) calcolarlo.

2. Data z = −x^{5} + xy^{2} − 1, trovare:

a) derivata direzionale nel punto (1, 1) e direzione \underline{u} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) ,

b) piano tangente nel punto (−1, 2),

c) versore normale nel punto (−1, 2).

3. Data la curva C di equazione:

C \{ \begin{matrix}x(t) = 2t \\ y(t) = cos t \\ z(t) = sin t \end{matrix} t ∈ R,

scrivere il triedro associato alla curva C nel punto t = π :

a) versore tangente a C nel punto t = π,

b) versore normale a C nel punto t = π,

c) versore binormale a C nel punto t = π,

d) la curva é piana?

4. Data la funzione z = 9x^{2} − 6xy + y^{3} trovare:

a) dominio,

b) punti critici,

c) la sezione con il piano (y, z), la sezione con il piano y = 1 e tracciare un grafico delle sezioni trovate.