Facoltà di Architettura Istituzioni di Matematiche 2 Prova scritta del 17 giugno 2005 Proff. Laura Tedeschini Lalli, Francesca Nardi, Paola Magrone.

NOME:

COGNOME:

MATRICOLA:

Svolgere i seguenti esercizi, utilizzando il retro dei fogli per i conti. Non usare altri fogli. Riportare le risposte negli spazi.

1. 1. Dati i punti P_{0} = (1, 0, 1), P_{1} = (0, 1, 2)

(i) scrivere l’equazione (parametrica o cartesiana) della retta r passante per P_{0}, P_{1};

(ii) scrivere l’equazione del piano α contenente la retta r e passante per il punto P_{2} = (1, 1, 1,)

(iii) trovare la distanza tra il piano α e l’origine.

2. Data la funzione r(θ) = 1 + 2 cos θ,

(i) Dire se è periodica, ed eventualmente indicarne il periodo,

(ii) riempire la seguente tabella:

θ 0 \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{3π}{4} π \frac{5π}{4} \frac{3π}{2} \frac{7π}{4} 2π
r

(iii) Tracciare schematicamente il grafico di r(θ)

3. Data la funzione f(x, y) = xye^{5x+2y} :

(i) Determinare i punti critici; (ii) studiare tali punti; (iii) Determinare l’equazione del piano tangente nel punto P = (1, 0). (iv) SOLO PER I QUINQUENNALISTI:

Determinare massimi e minimi assoluti per la funzione f(x, y) = x^{5} + 2xy^{4} + 3 nel quadrato di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

4. Determinare la matrice A che applicata al piano ottiene la seguente trasformazione:

5. Dato il dominio D contenuto nel secondo quadrante (x ≤ 0, y ≥ 0) e limitato dai due assi coordinati e dalla curva y = −4x^{2} + 5 :

a) descrivere D come dominio verticalmente semplice (cioé normale rispetto ad x)

≤ x ≤ ≤ y ≤

b) impostare cone le informazioni ottenute l’integrale:

∫ ∫ (2xy^{2} + 3)dxdy

c) calcolarlo.