Facoltà di Architettura Istituzioni di Matematiche 2 Prova scritta del 4 luglio 2005 Proff. Laura Tedeschini Lalli, Francesca Nardi, Paola Magrone.

NOME:

COGNOME:

MATRICOLA:

Svolgere i seguenti esercizi, utilizzando il retro dei fogli per i conti. Non usare altri fogli. Riportare le risposte negli spazi.

1. Data la matrice

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

(a) Stabilire se ammette inversa e perché.

(b) Risolvere, usando a scelta il metodi di Cramer o il metodo dell’inversa, i seguenti sistemi:

A\underline{x} = B_{1},  A\underline{x} = B_{2},  A\underline{x} = B_{3}

dove

B_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , B_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , B_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

2. Una superficie quadrica interseca il piano (y, z) nella seguente figura: e il piano (x, z) nella seguente figura Scrivere una possibile equazione di tale quadrica.

3. SOLO PER I TRIENNALISTI: Data la funzione f(x, y) = log(5x + 4y) :

(a) trovare il dominio di definizione;

(b) disegnarlo;

(c) calcolare la derivata direzionale nel punto P_{0} = (1, 0) in direzione (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

(d) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto P_{0}.

4. Un punto si muove sul piano (x, y) con legge

\{ \begin{matrix}x(t) = 2 cos t \\ y(t) = 5 sin t \end{matrix}

a) determinare la sua traiettoria e disegnarla;

b) calcolare la posizione del punto e i vettori velocitá ed accelerazione ai tempi t = 0, t = \frac{π}{4} , t = \frac{π}{2} .

5. a) Calcolare il seguente integrale doppio

∫_{−2}^{2} dy ∫_{y^{2}−1}^{3}(2x + y + 2)dx

b) disegnare il dominio di integrazione;

c) tracciare schematicamente uno schizzo del solido di cui si é appena calcolato il volume.