Esercizi sulle superfici

Esercizio 1. Data la superficie di equazioni parametriche: φ(u, v) = (u^{2} − v, u cos v, u + v), determinare l’equazione cartesiana del piano tangente in P_{0} = φ(−1, 0). Troviamo i vettori che costituiscono la giacitura del piano tangente a φ, ovvero u = \frac{∂φ}{∂u}, φ_{v} = \frac{∂φ}{∂v}.

φ_{u} = (2u, cos v, 1), φ_{v} = (−1, −u sin v, 1),

che, calcolati per (u, v) = (−1, 0) danni i vettori (−2, 1, 1), (−1, 0, 1). Il loro prodotto vettoriale dá come risultato il vettore normale alla superficie nel punto, ovvero N = (1, 1, 1). (il versore normale é dato da \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) ) Con questi dati calcoliamo l’eq. cartesiana del piano tangente: x+y +z +1 = 0. Esercizio 2. Determinare le coordinate del versore normale e l’equazione cartesiana del piano tangente alle seguenti superfici nel punto assegnato:

(a) φ(u, v) = (u^{2} + 3u^{2}v, u^{2} + 2uv, u + v), P_{0} = φ(−1, 0). [R.\frac{1}{\sqrt{19}}(1, −3, 3), x − 3y + 3z − 1 = 0] .

(b) φ(u, v) = (u^{2} + v^{2}, u^{2} − v^{2}, 4uv), P_{0} = φ(1, 0). [R.\frac{1}{\sqrt{128}}(8, −8, 0), x − y = 0] .

(c) φ(u, v) = (u + v, u − v, u^{2} + v^{2}), P_{0} = φ(0, 0). [R.\frac{1}{\sqrt{2}}(0, 0, −2), z = 0] .

(d) φ(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u), P_{0} = φ(\frac{π}{4} , \frac{π}{4} ). [R.\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}), \sqrt{2}x + \sqrt{2}y + 2z − 2\sqrt{2} = 0] .

(e) φ(u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2}), P_{0} = φ(2, 0). [R.\frac{1}{\sqrt{17}}(−4, 0, 1), −4x + z + 4 = 0] .