CAM, a.a. 2003-2004 - Derivate 1 [Soluzioni]

(a cura di Giampiero Palatucci)

1 marzo 2004

1. Calcolare, usando la definizione, la derivata delle seguenti funzioni:

a. ln x; b. e^{3x}; c. sin x. Occorre calcolare il limite del rapporto incrementale.

Vediamo per la funzione sin x:

lim_{h→0} \frac{sin (x + h) − sin x}{h} = lim_{h→0} \frac{sin x cos h + cos x sin h − sin x}{h}
= lim_{h→0} cos x\frac{sin h}{h} + lim_{h→0} sin x (\frac{cos h − 1}{h})
= cos x + lim_{h→0} h sin x (\frac{cos h − 1}{h^{2}}) = cos x.

2. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, usando i teoremi sulla derivazione del prodotto e della composizione di funzioni:

a. a^{x} (a > 0, a ≠ 1). E’ sufficiente scrivere a^{x} come e^{ln a^{x}}, i.e. e^{(ln a)x}.

Da cui: (a^{x})′ = (e^{(ln a)x})′ = (ln a)e^{(ln a)x} = (ln a)a^{x}.

b. f(x)^{g(x)}. Si usa la stessa tecnica dell’esercizio precedente. Scriviamo, quindi, f^{g} come e^{ln f^{g}}.

Si ha: (f^{g})′ (x) = (e^{ln f^{g}})′ (x) = (e^{g ln f})′ (x) = (f^{g}) (x) (g′(x) ln (f(x)) + g(x)\frac{f′(x)}{f(x)}) .

3. Usando le tabelle delle derivate delle funzioni elementari, calcolare (se esiste) la derivata delle funzioni seguenti, definite in tutto ℝ, studiando in particolare i punti in cui i teoremi generali non sono applicabili.

a. f(x) = x sin \sqrt[3]{x};

Se x è diverso da 0, i teoremi noti forniscono: f′(x) = sin \sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}x|x|^{− \frac{2}{3}} cos \sqrt[3]{x}.

Osserviamo che questa formula perde di significato per x = 0 (la funzione \sqrt[3]{·} non è derivabile in 0), tuttavia esiste f′(0). Si ha:

f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) − f(0)}{x} = lim_{x→0} sin \sqrt[3]{x} = 0.

b. f(x) = \begin{cases}\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x}}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0; \end{cases}

Abbiamo:

f′(x) = \frac{5x}{3\sqrt[3]{x^{2}}} , ∀x ≠ 0;

f′(0) = 0.

c. f(x) = \begin{cases}\begin{matrix}sin & 2 & |x| \\ ^{3} & \sqrt{x^{4}} \end{matrix}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0. \end{cases}

Per ogni x ≠ 0, si ha:

f′(x) = (2|x|^{− \frac{4}{3}} sin |x| cos |x| − \frac{4}{3}|x|^{− \frac{7}{3}} sin^{2} |x|) sign x.

Non esiste, invece, f′(0). Infatti:

lim_{x→0^{±}} \frac{f(x) − f(0)}{x} = lim_{x→0^{±}} \frac{sin^{2} |x|}{x^{2}\sqrt[3]{x}} = ±∞.

4. Studiare la continuità in zero della seguente funzione e della sua derivata prima:

f(x) = \begin{cases}x^{2} sin \frac{1}{x}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0. \end{cases}

La funzione f è continua per ogni x ∈ ℝ.

Infatti, esiste lim_{x→0} f(x) = 0.

La funzione f, inoltre, è derivabile su tutta la retta reale.

Si ha:

f′(x) = 2x sin \frac{1}{x} − cos \frac{1}{x}, ∀x ≠ 0;

f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) − f(0)}{x} = lim_{x→0} x sin \frac{1}{x} = 0.

Infine, la funzione f′(x) = \begin{cases}2x sin \frac{1}{x} − cos \frac{1}{x}, & se x ≠ 0, \\ 0, & se x = 0 \end{cases} è discontinua in x = 0.

5. Calcolare la derivata della funzione f(x) = arctan x + arctan (\frac{1}{x}) in ogni punto del suo dominio. Calcolare inoltre f(1) e f(−1). Possiamo applicare il Teorema della derivata nulla(^{1})? Disegnare il grafico della funzione f.

La funzione è definita in (−∞, 0) ∪ (0, +∞) ed ha derivata nulla in tutti i punti del suo dominio:

f′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^{2}} · (−\frac{1}{x^{2}} ) = 0, ∀x ≠ 0.

f(1) = \frac{π}{2} ≠ f(−1) = −\frac{π}{2} .

Quindi f non è costante. Infatti il Teorema della derivata nulla non si può applicare ad f, perché il dominio della funzione non è un intervallo. Tuttavia, possiamo applicare il Teorema ad f ristretta a (−∞, 0) e separatamente ad f ristretta a (0, +∞).

1 Teorema della derivata nulla. Sia f una funzione derivabile in un intervallo I. Se f′ è identicamente nulla in I allora f è costante.