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CAM - Complementi di Analisi Uno, a.a. 2003/04

Comm. Prof. Mario Girardi

Prova di Esame - 13 luglio 2004

ESERCIZIO 1 Calcolare il seguente limite utilizzando lo sviluppo di Taylor.

lim_{x→0} \frac{sin 3x − 3 sin x}{x^{3}}.

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Prova di Esame - 13 luglio 2004

ESERCIZIO 2 Sia data la funzione f(x) := e^{\frac{1}{x}} \sqrt{x(x + 2)}. Determinarne insieme di definizione, parità e disparità, segno, limiti ed asintoti, intervalli di monotonia, estremi relativi ed assoluti. Infine, disegnarne un grafico approssimativo.

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Prova di Esame - 13 luglio 2004

ESERCIZIO 3 Calcolare i seguenti integrali indefiniti.

A) ∫ \frac{dx}{\sqrt{(α^{2} − x^{2})^{3}}} (α ∈ ℝ); B) ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 3x − 4}}.

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Prova di Esame - 13 luglio 2004

ESERCIZIO 4 Studiare l’integrabilità in (1, +∞) della seguente funzione: f(x) = \frac{\sqrt{|x^{2} − 1|} tanh^{2}(x)}{|x|^{\frac{5}{2}} ln |x|}.

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Prova di Esame - 13 luglio 2004

ESERCIZIO 5 Dimostrare la validità della seguente disuguaglianza:

(1 − sin x) < e^{−x} per ogni x ∈ (0, \frac{π}{2} ).